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Accueil›Nombres et calcul›Ratios et proportions

Proportions

Si 3 cahiers coûtent 4.50 dollars, 7 en coûtent 10.50, car 3/4.50 = 7/10.50.

Les classes, prix, recettes, cartes et trajets de cette page sont inventés pour l'entraînement. Les méthodes suivent OpenStax Prealgebra 2e.

Trois cahiers pour 4.50. Combien en coûtent sept ?

Essaie avant de lire la suite, sans formule. Trois cahiers coûtent 4.50 dollars. Combien en coûtent sept ? Note ta réponse. Un chemin consiste à trouver d'abord le prix d'un cahier. Un autre est tentant et faux : sept, c'est quatre de plus que trois, donc on ajoute quatre dollars. La réponse revient plus bas, une fois que l'outil derrière le premier chemin aura un nom.

Une proportion dit que deux ratios sont égaux

OpenStax définit une proportion comme une égalité de la forme a/b = c/d, où b et d ne sont pas nuls. Elle dit que deux ratios ou deux taux sont égaux, et se lit « a est à b ce que c est à d ». L'égalité 2/3 = 8/12 est une proportion : 2 est à 3 ce que 8 est à 12. Il en va de même pour 3 cahiers / 4.50 dollars = 7 cahiers / 10.50 dollars.

Les barres montrent 3/4 et 6/8 coloriés sur la même longueur. 3 : 4 = 6 : 8 est une proportion parce que les deux ratios décrivent la même quantité. Les proportions, ce sont des fractions égales dans un autre contexte.

Extrêmes multipliés égalent moyens multipliés

Pour toute proportion a/b = c/d, les produits en croix sont égaux : a × d = b × c. Vérifie 2/3 = 8/12 : 2 × 12 = 24 et 3 × 8 = 24. Ils sont égaux, donc la proportion est vraie. Vérifie 3/5 et 4/7 : 3 × 7 = 21 et 5 × 4 = 20. Ils diffèrent, donc 3/5 et 4/7 ne forment pas une proportion. Avec les deux-points, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

Résoudre x/12 = 5/8, et un raccourci pour 3/4 = x/20

La plupart des problèmes de proportion laissent un nombre en blanc. Résous x/12 = 5/8. Fais le produit en croix : 8 × x = 12 × 5 = 60, donc x = 60 ÷ 8 = 7.5. Vérification : 7.5/12 = 0.625 et 5/8 = 0.625. Parfois il y a plus rapide. Dans 3/4 = x/20, le dénominateur est passé de 4 à 20, soit × 5, donc x = 3 × 5 = 15.

Retour aux cahiers : 10.50 dollars

Alors, les cahiers. Le travail principal dans un problème, c'est d'écrire les deux ratios dans le même sens. Mets les cahiers sur les dollars des deux côtés : 3/4.50 = 7/x. Alors 3x = 4.50 × 7 = 31.50, et x = 10.50 dollars. Le raccourci par addition donne 4.50 + 4 = 8.50, ce qui est trop peu. Mets les cahiers en haut d'un côté et les dollars en haut de l'autre : le calcul tourne quand même, mais la réponse n'a aucun sens.

30 % de 70 sous forme de proportion

OpenStax écrit aussi les problèmes de pourcentage sous forme de proportion : la quantité est à la base ce que le pourcentage est à 100, soit quantité/base = pourcentage/100. Combien font 30 % de 70 ? x/70 = 30/100, donc 100x = 2100 et x = 21. 18 représente quel pourcentage de 72 ? 18/72 = p/100, donc 72p = 1800 et p = 25.

Une course de taxi qui casse la règle

Une proportion ne convient que si doubler une quantité double l'autre. Un taxi inventé facture une prise en charge de 4 dollars plus 2 dollars par kilomètre. 5 km coûtent 4 + 10 = 14 dollars, mais 10 km coûtent 4 + 20 = 24 dollars, et non 28. La partie fixe casse la proportionnalité. Avant d'écrire une proportion, demande-toi si zéro de l'une voudrait dire zéro de l'autre.

  1. 4/6 = 10/15 est-elle une proportion vraie ?
    • Oui
    • Non
  2. 5/8 = 7/11 est-elle une proportion vraie ?
    • Oui
    • Non
  3. Résous x/9 = 4/6.
  4. Résous 5/x = 2/7.
  5. Résous 3 : 8 = x : 40.
  6. 4 billets coûtent 34 dollars. Combien en coûtent 10 ?
  7. Une machine remplit 150 bouteilles en 6 minutes. Combien de minutes pour 400 bouteilles ?
  8. 24 représente quel pourcentage de 60 ? Utilise quantité/base = pourcentage/100.
  9. 15, c'est 25 % de quel nombre ?
  10. Quelle situation est proportionnelle ?
    • Une salle de sport : 20 dollars d'inscription plus 10 dollars par mois
    • Des pommes à 3 dollars le kilogramme
    • Un forfait téléphonique : 15 dollars par mois plus 1 dollar par gigaoctet
Erreurs fréquentes
  • Résoudre 2 : 5 = 6 : x par addition : « 6, c'est 4 de plus que 2, donc x = 5 + 4 = 9. » Une proportion grandit par multiplication. 6, c'est 3 fois 2, donc x = 5 × 3 = 15. Vérification : 2 × 15 = 30 et 5 × 6 = 30.
  • Écrire 3/4.50 = x/7 pour les cahiers et obtenir x ≈ 4.67. Le ratio de gauche est cahiers sur dollars, celui de droite dollars sur cahiers. Garde le même ordre des deux côtés : 3/4.50 = 7/x.
  • Multiplier tout droit dans x/12 = 5/8 : « x × 5 = 12 × 8, donc x = 19.2. » Le produit en croix associe chaque numérateur à l'autre dénominateur : 8 × x = 12 × 5, donc x = 7.5.
  • Utiliser une proportion pour le taxi : « 5 km coûtent 14 dollars, donc 10 km coûtent 28. » La prise en charge de 4 dollars ne double pas. 10 km coûtent 4 + 20 = 24 dollars.
Note du professeurLe calcul pose rarement problème ; c'est la mise en équation. Un tableau à deux lignes, les cahiers sur une ligne et les dollars sur l'autre, rend l'ordre visible avant que quiconque écrive une fraction. Il montre aussi si la situation est proportionnelle ou non. Si la colonne zéro ne donnait pas zéro, on s'arrête. Laisse les élèves utiliser le chemin rapide « fois 5 » quand les nombres le permettent, et garde les produits en croix pour les nombres peu commodes. Le programme coréen de 2022 place les proportions et le partage proportionnel en 5e et 6e années du primaire. La proportionnalité directe et inverse suit au collège, avec la vitesse par rapport à la distance et au temps citée comme exemple courant.
L'essentiel
  • Une proportion dit que deux ratios sont égaux : a/b = c/d.
  • Dans une proportion vraie, les produits en croix sont égaux : a × d = b × c.
  • Écris les deux ratios dans le même ordre, puis fais le produit en croix.
  • Problèmes de pourcentage : quantité/base = pourcentage/100.
Sources de ce cours (11)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-16] 1 cm와 1 mm, 1 km와 1 m의 관계; 5~6학년군 [6수01-09] 분수의 곱셈, [6수02-02] 비, [6수02-03] 비율, [6수02-04] 비례식, [6수02-05] 비례배분, 용어 비·기준량·비교하는 양·비율·백분율·비례식·비례배분·:·%; 중학교 1~3학년군 [9수02-07] 정비례·반비례(해설: 속력과 거리, 속력과 시간), [9수03-12] 닮음비; 고등학교 진로 선택 직무 수학 [12직수02-01] 해설 단위가격·단가, [12직수03-03] 해설 지도의 축척)
  • Textbook: OpenStax, Prealgebra 2e (Marecek, Anthony-Smith, Honeycutt Mathis, 2020)
  • sections 5.6 Ratios and Rate, 6.5 Solve Proportions and their Applications (Key Concepts)
  • 9.7 Use the Distance, Rate, and Time Formula (openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/5-6-ratios-and-rate, /6-key-concepts, /9-7-solve-a-formula-for-a-specific-variable, checked 2026-10-17)
  • Textbook companion: EBS 『만점왕 수학 6-1』 4. 비와 비율 (2020, 2015 개정 교육과정 교과서 학습서; livedown2.ebs.co.kr/ebsvod/elmt/live/만점왕수학6-1-4주.pdf, checked 2026-10-19: 기호 :의 오른쪽이 기준량, 「~에 대한」 읽기, 걸린 시간에 대한 간 거리의 비율, 비율이 쓰이는 예로 지도의 축척)
  • USGS Fact Sheet 015-02 "Map Scales" (pubs.usgs.gov/fs/2002/0015/report.pdf, checked 2026-10-17)
  • USGS FAQ "Why are USGS topographic maps called quadrangles?" (usgs.gov/faqs, checked 2026-10-17)
  • NIST Handbook 44 Appendix C, 1 mile = 1.609344 km and 1 inch = 2.54 cm exactly (nist.gov, checked 2026-10-17)
  • 산업통상자원부 보도자료 「산업부, 가격표시제 실시요령 개정」 2025-04-02 (motir.go.kr, 단위가격 표시품목 84개 → 114개, checked 2026-10-19)
  • 교육부 공식 블로그 「이상한 지하철 노선도」 2016-02-02 (if-blog.tistory.com/6161, 서울 지하철 1호선 노선도와 실제 노선 비교, checked 2026-10-19)
  • History block only: USGS FAQ "When was the 1:24,000-scale topographic map series completed?" (usgs.gov/faqs, checked 2026-10-17)

Consulté le: 2026-10-17