Proporciones

Si 3 cuadernos cuestan 4.50 dólares, 7 cuestan 10.50, porque 3/4.50 = 7/10.50.

Tres cuadernos por 4.50. ¿Cuánto cuestan siete?

Prueba esto antes de seguir leyendo, sin ninguna fórmula. Tres cuadernos cuestan 4.50 dólares. ¿Cuánto cuestan siete? Anota tu respuesta. Un camino es hallar primero el precio de un cuaderno. Otro es tentador y está mal: siete son cuatro más que tres, así que se suman cuatro dólares. La respuesta vuelve más abajo, cuando la herramienta detrás del primer camino tenga nombre.

Una proporción dice que dos razones son iguales

OpenStax define una proporción como una ecuación de la forma a/b = c/d, donde b y d no son cero. Dice que dos razones o tasas son iguales, y se lee «a es a b como c es a d». La igualdad 2/3 = 8/12 es una proporción: 2 es a 3 como 8 es a 12. También lo es 3 cuadernos / 4.50 dólares = 7 cuadernos / 10.50 dólares.

Las barras muestran 3/4 y 6/8 sombreados hasta la misma longitud. 3 : 4 = 6 : 8 es una proporción porque las dos razones describen la misma cantidad. Las proporciones son fracciones equivalentes en otro contexto.

Extremos por extremos es igual a medios por medios

En cualquier proporción a/b = c/d, los productos cruzados son iguales: a × d = b × c. Comprueba 2/3 = 8/12: 2 × 12 = 24 y 3 × 8 = 24. Coinciden, así que la proporción es cierta. Comprueba 3/5 y 4/7: 3 × 7 = 21 y 5 × 4 = 20. Son distintos, así que 3/5 y 4/7 no forman una proporción. En la forma con dos puntos, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Resolver x/12 = 5/8, y un atajo para 3/4 = x/20

La mayoría de los problemas de proporciones dejan un número en blanco. Resuelve x/12 = 5/8. Multiplica en cruz: 8 × x = 12 × 5 = 60, así que x = 60 ÷ 8 = 7.5. Comprobación: 7.5/12 = 0.625 y 5/8 = 0.625. A veces hay un camino más rápido. En 3/4 = x/20, el denominador pasó de 4 a 20, que es × 5, así que x = 3 × 5 = 15.

De vuelta a los cuadernos: 10.50 dólares

Vamos con los cuadernos. Lo principal en un problema con texto es plantear las dos razones en el mismo orden. Escribe cuadernos sobre dólares en los dos lados: 3/4.50 = 7/x. Entonces 3x = 4.50 × 7 = 31.50, y x = 10.50 dólares. El atajo de sumar da 4.50 + 4 = 8.50, que se queda corto. Si pones cuadernos arriba en un lado y dólares arriba en el otro, la cuenta igual sale, pero el resultado no tiene sentido.

El 30% de 70 como proporción

OpenStax también escribe los problemas de porcentajes como proporción: la cantidad es a la base como el porcentaje es a 100, es decir, cantidad/base = porcentaje/100. ¿Cuánto es el 30% de 70? x/70 = 30/100, así que 100x = 2100 y x = 21. ¿Qué porcentaje de 72 es 18? 18/72 = p/100, así que 72p = 1800 y p = 25.

Una tarifa de taxi que rompe la regla

Una proporción solo encaja cuando al duplicar una cantidad se duplica la otra. Un taxi inventado cobra 4 dólares de banderazo más 2 dólares por kilómetro. 5 km cuestan 4 + 10 = 14 dólares, pero 10 km cuestan 4 + 20 = 24 dólares, no 28. La tarifa fija rompe la proporción. Antes de plantear una proporción, pregúntate si cero de una cosa significaría cero de la otra.