Пропорции

Если 3 тетради стоят 4.50 доллара, то 7 стоят 10.50, поскольку 3/4.50 = 7/10.50.

Три тетради стоят 4.50. Сколько стоят семь?

Прежде чем читать дальше, попробуй решить без формул. Три тетради стоят 4.50 доллара. Сколько стоят семь? Запиши ответ. Один способ: сначала найти цену одной тетради. Другой кажется заманчивым, но неверен: семь на четыре больше трёх, значит надо прибавить четыре доллара. Ниже мы вернёмся к ответу, когда назовём математический инструмент первого способа.

Пропорция выражает равенство двух отношений

OpenStax определяет пропорцию как уравнение вида a/b = c/d, где b и d не равны нулю. Оно означает равенство двух отношений и читается «a относится к b, как c к d». Равенство 2/3 = 8/12 является пропорцией: 2 относится к 3, как 8 к 12. То же верно для 3 тетради / 4.50 доллара = 7 тетрадей / 10.50 доллара.

На полосках закрашены 3/4 и 6/8, и длина закрашенных частей одинакова. 3 : 4 = 6 : 8 является пропорцией, потому что оба отношения описывают одну величину. Пропорции позволяют применять равные дроби в новом контексте.

Произведение крайних членов равно произведению средних

В любой пропорции a/b = c/d произведения накрест равны: a × d = b × c. Проверим 2/3 = 8/12: 2 × 12 = 24 и 3 × 8 = 24. Результаты совпали, значит пропорция верна. Проверим 3/5 и 4/7: 3 × 7 = 21, а 5 × 4 = 20. Они различаются, значит 3/5 и 4/7 не образуют пропорцию. В записи с двоеточиями произведение крайних членов равно произведению средних.

Решаем x/12 = 5/8 и находим короткий путь для 3/4 = x/20

В большинстве задач на пропорции одно число неизвестно. Решим x/12 = 5/8. Умножим накрест: 8 × x = 12 × 5 = 60, поэтому x = 60 ÷ 8 = 7.5. Проверка: 7.5/12 = 0.625 и 5/8 = 0.625. Иногда есть более быстрый способ. В 3/4 = x/20 знаменатель изменился с 4 до 20, то есть увеличился в 5 раз, поэтому x = 3 × 5 = 15.

Возвращаемся к тетрадям: 10.50 доллара

Итак, тетради. Главное в текстовой задаче: составить оба отношения в одинаковом порядке. Запишем тетради над долларами с обеих сторон: 3/4.50 = 7/x. Тогда 3x = 4.50 × 7 = 31.50 и x = 10.50 доллара. Способ со сложением даёт 4.50 + 4 = 8.50, что слишком мало. Если с одной стороны поставить сверху тетради, а с другой доллары, вычисления выполнить можно, но ответ получится бессмысленным.

30% от 70 через пропорцию

OpenStax также записывает задачи на проценты в виде пропорции: часть относится к целому, как число процентов к 100, или часть/целое = проценты/100. Сколько составляют 30% от 70? x/70 = 30/100, поэтому 100x = 2100 и x = 21. Сколько процентов составляет 18 от 72? 18/72 = p/100, поэтому 72p = 1800 и p = 25.

Тариф такси, для которого правило не работает

Пропорция подходит только тогда, когда удвоение одной величины удваивает другую. Условное такси берёт 4 доллара за посадку и ещё 2 доллара за километр. Поездка на 5 км стоит 4 + 10 = 14 долларов, а на 10 км: 4 + 20 = 24 доллара, не 28. Фиксированная плата нарушает пропорциональность. Прежде чем составлять пропорцию, спроси себя: означает ли нулевое значение одной величины нулевое значение другой?