Proportionen

Wenn 3 Hefte 4.50 Dollar kosten, kosten 7 Hefte 10.50, denn 3/4.50 = 7/10.50.

Drei Hefte für 4.50. Was kosten sieben?

Versuche es vor dem Weiterlesen ohne Formel. Drei Hefte kosten 4.50 Dollar. Was kosten sieben? Schreibe deine Antwort auf. Ein Weg führt über den Preis eines einzelnen Hefts. Ein anderer ist verlockend, aber falsch: Sieben sind vier mehr als drei, also einfach vier Dollar addieren. Auf die Antwort kommen wir weiter unten zurück, sobald das Werkzeug hinter dem ersten Weg einen Namen hat.

Eine Proportion besagt, dass zwei Verhältnisse gleich sind

OpenStax definiert eine Proportion als Gleichung der Form a/b = c/d, wobei b und d nicht null sind. Sie besagt, dass zwei Verhältnisse oder Raten gleich sind. Gelesen wird sie als „a verhält sich zu b wie c zu d“. Die Aussage 2/3 = 8/12 ist eine Proportion: 2 verhält sich zu 3 wie 8 zu 12. Ebenso gilt: 3 Hefte / 4.50 Dollar = 7 Hefte / 10.50 Dollar.

Die Balken zeigen 3/4 und 6/8 bis zur gleichen Länge gefärbt. 3 : 4 = 6 : 8 ist eine Proportion, weil beide Verhältnisse denselben Anteil beschreiben. Proportionen sind gleichwertige Brüche in einem anderen Zusammenhang.

Produkt der Außenglieder gleich Produkt der Innenglieder

Für jede Proportion a/b = c/d sind die Kreuzprodukte gleich: a × d = b × c. Prüfe 2/3 = 8/12: 2 × 12 = 24 und 3 × 8 = 24. Die Produkte stimmen überein, also gilt die Proportion. Prüfe 3/5 und 4/7: 3 × 7 = 21 und 5 × 4 = 20. Sie unterscheiden sich, also bilden 3/5 und 4/7 keine Proportion. In der Schreibweise mit Doppelpunkt ist das Produkt der äußeren Zahlen gleich dem Produkt der inneren Zahlen.

x/12 = 5/8 lösen und eine Abkürzung für 3/4 = x/20

In den meisten Proportionsaufgaben fehlt eine Zahl. Löse x/12 = 5/8. Multipliziere über Kreuz: 8 × x = 12 × 5 = 60, also x = 60 ÷ 8 = 7.5. Kontrolle: 7.5/12 = 0.625 und 5/8 = 0.625. Manchmal geht es schneller. Bei 3/4 = x/20 wurde der Nenner von 4 auf 20 mit 5 multipliziert. Also ist x = 3 × 5 = 15.

Zurück zu den Heften: 10.50 Dollar

Nun zu den Heften. Bei einer Textaufgabe müssen beide Verhältnisse gleich herum aufgestellt werden. Schreibe auf beiden Seiten Hefte über Dollar: 3/4.50 = 7/x. Dann gilt 3x = 4.50 × 7 = 31.50 und x = 10.50 Dollar. Die Abkürzung mit Addition ergibt 4.50 + 4 = 8.50, also zu wenig. Stehen auf einer Seite Hefte im Zähler und auf der anderen Dollar, lässt sich zwar rechnen, doch die Antwort ist sinnlos.

30% von 70 als Proportion

OpenStax schreibt auch Prozentaufgaben als Proportion: Der Prozentwert verhält sich zum Grundwert wie der Prozentsatz zu 100, also Prozentwert/Grundwert = Prozentsatz/100. Wie viel sind 30% von 70? x/70 = 30/100, also 100x = 2100 und x = 21. Wie viel Prozent sind 18 von 72? 18/72 = p/100, also 72p = 1800 und p = 25.

Ein Taxipreis, der nicht proportional ist

Eine Proportion passt nur, wenn die Verdopplung einer Größe auch die andere verdoppelt. Ein ausgedachtes Taxi verlangt 4 Dollar Grundgebühr plus 2 Dollar pro Kilometer. 5 km kosten 4 + 10 = 14 Dollar, aber 10 km kosten 4 + 20 = 24 Dollar statt 28. Die feste Gebühr verhindert die Proportionalität. Frage dich vor dem Aufstellen einer Proportion, ob der Wert null bei einer Größe auch null bei der anderen bedeuten würde.