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ホーム›数と計算›比と比例

比例式

ノート3冊が4.50ドルなら、7冊は10.50ドルです。3/4.50 = 7/10.50だからです。

このページのクラス、価格、レシピ、地図、移動の例は練習用の架空のものです。解き方はOpenStax Prealgebra 2eに準拠しています。

ノート3冊で4.50です。七冊ではいくら？

先を読む前に、公式を使わずに考えましょう。ノート三冊が4.50ドルです。七冊ならいくらでしょうか。答えを書いてください。一冊あたりの価格を先に求める方法があります。一方、「七冊は三冊より四冊多いから四ドル足す」という考え方は、つい選びたくなりますが誤りです。最初の方法を支える考え方に名前を付けてから、もう一度答えを確かめます。

二つの比が等しいことを表す比例式

OpenStaxでは、bとdが0でないとき、a/b = c/dの形の等式を比例式と定義しています。二つの比や割合が等しいことを表し、「a対bはc対dに等しい」と読みます。2/3 = 8/12も比例式で、2対3が8対12に等しいことを表します。ノート3冊 / 4.50ドル = ノート7冊 / 10.50ドルも同じです。

帯の3/4と6/8を塗ると、長さが等しくなります。3 : 4 = 6 : 8は、両方の比が同じ大きさを表すので比例式です。等しい分数を別の場面で使っているのです。

外項の積は内項の積に等しい

比例式a/b = c/dでは、交差する積が等しくなり、a × d = b × cが成り立ちます。2/3 = 8/12なら、2 × 12 = 24と3 × 8 = 24です。一致するので正しい比例式です。3/5と4/7なら、3 × 7 = 21と5 × 4 = 20で一致しないため、比例式にはなりません。コロンで書いた形では、外側の二数の積と内側の二数の積が等しくなります。

x/12 = 5/8の解き方と、3/4 = x/20の近道

比例式の問題では、一つの数が未知数になっていることがよくあります。x/12 = 5/8を解きましょう。交差する積を等しくすると8 × x = 12 × 5 = 60なので、x = 60 ÷ 8 = 7.5です。7.5/12 = 0.625、5/8 = 0.625と確かめられます。もっと速く求められる場合もあります。3/4 = x/20では、分母が4から20へ5倍になっているので、x = 3 × 5 = 15です。

ノートの問題の答えは10.50ドルです

ノートの問題に戻ります。文章題では、二つの比の順番をそろえることが大切です。両辺でノートの冊数をドルの上に置き、3/4.50 = 7/xと書きます。3x = 4.50 × 7 = 31.50なので、x = 10.50ドルです。足し算の方法では4.50 + 4 = 8.50となり、足りません。一方でノートを分子にし、他方でドルを分子にしてしまうと、計算はできても意味のない答えになります。

70の30%を比例式で求める

OpenStaxは百分率の問題も比例式で表します。比較量と基準量の比が、百分率と100の比に等しいので、比較量/基準量 = 百分率/100です。70の30%はいくつでしょうか。x/70 = 30/100より100x = 2,100なので、x = 21です。18は72の何パーセントでしょうか。18/72 = p/100より72p = 1,800なので、p = 25です。

比例しないタクシー料金

比例式を使えるのは、一方が二倍になると他方も二倍になる場合だけです。練習用に、初乗り4ドルに1キロメートルあたり2ドルを加えるタクシーを考えます。5 kmなら4 + 10 = 14ドルですが、10 kmでは4 + 20 = 24ドルで、28ドルにはなりません。固定料金があるため比例しないのです。比例式を立てる前に、一方がゼロなら他方もゼロになるかを考えましょう。

  1. 4/6 = 10/15は正しい比例式ですか？
    • はい
    • いいえ
  2. 5/8 = 7/11は正しい比例式ですか？
    • はい
    • いいえ
  3. x/9 = 4/6を解いてください。
  4. 5/x = 2/7を解いてください。
  5. 3 : 8 = x : 40を解いてください。
  6. チケット4枚が34ドルです。10枚ならいくらですか？
  7. 機械が6分で150本の瓶を満たします。400本には何分かかりますか？
  8. 24は60の何パーセントですか？比較量/基準量 = 百分率/100を使ってください。
  9. 15は何の25%ですか？
  10. 比例するのはどの場面ですか？
    • ジム：入会金20ドルに月額10ドルを加えます
    • 1キログラムあたり3ドルのリンゴ
    • 電話料金：月額15ドルに1ギガバイトあたり1ドルを加えます
よくある間違い
  • 2 : 5 = 6 : xを足し算で解く：「6は2より4大きいので、x = 5 + 4 = 9。」 比例では掛け算で増やします。6は2の3倍なので、x = 5 × 3 = 15です。2 × 15 = 30と5 × 6 = 30で確かめられます。
  • ノートの問題で3/4.50 = x/7と書き、x ≈ 4.67を得る。 左辺はノートの冊数をドルで割っていますが、右辺はドルを冊数で割っています。両辺の順番をそろえ、3/4.50 = 7/xとします。
  • x/12 = 5/8で横同士を掛ける：「x × 5 = 12 × 8なので、x = 19.2。」 交差する積では、それぞれの分子に反対側の分母を掛けます。8 × x = 12 × 5なので、x = 7.5です。
  • タクシー料金に比例式を使う：「5 kmで14ドルなので、10 kmなら28ドル。」 初乗りの4ドルは二倍になりません。10 kmの料金は4 + 20 = 24ドルです。
先生からひとことつまずきの多くは方程式の計算より、式の立て方にあります。ノートの冊数とドルを二行の表にすると、分数を書く前に順番が見えます。そもそも比例する場面かどうかも確かめられます。片方がゼロの列で他方がゼロにならないなら、そこで立ち止まりましょう。数値が扱いやすいときは「5倍」の近道を使い、複雑な数値で交差する積を使います。韓国の2022年教育課程では、小学5〜6年で比例式と比例配分を扱います。中学校で比例と反比例に進み、日常の例として速さと距離、速さと時間の関係を扱います。
ポイント
  • 比例式は二つの比が等しいことを表します：a/b = c/d。
  • 正しい比例式では交差する積が等しくなります：a × d = b × c。
  • 両辺の比の順番をそろえてから、交差する積を等しくします。
  • 百分率の問題：比較量/基準量 = 百分率/100。
このコースの出典 (11)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-16] 1 cm와 1 mm, 1 km와 1 m의 관계; 5~6학년군 [6수01-09] 분수의 곱셈, [6수02-02] 비, [6수02-03] 비율, [6수02-04] 비례식, [6수02-05] 비례배분, 용어 비·기준량·비교하는 양·비율·백분율·비례식·비례배분·:·%; 중학교 1~3학년군 [9수02-07] 정비례·반비례(해설: 속력과 거리, 속력과 시간), [9수03-12] 닮음비; 고등학교 진로 선택 직무 수학 [12직수02-01] 해설 단위가격·단가, [12직수03-03] 해설 지도의 축척)
  • Textbook: OpenStax, Prealgebra 2e (Marecek, Anthony-Smith, Honeycutt Mathis, 2020)
  • sections 5.6 Ratios and Rate, 6.5 Solve Proportions and their Applications (Key Concepts)
  • 9.7 Use the Distance, Rate, and Time Formula (openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/5-6-ratios-and-rate, /6-key-concepts, /9-7-solve-a-formula-for-a-specific-variable, checked 2026-10-17)
  • Textbook companion: EBS 『만점왕 수학 6-1』 4. 비와 비율 (2020, 2015 개정 교육과정 교과서 학습서; livedown2.ebs.co.kr/ebsvod/elmt/live/만점왕수학6-1-4주.pdf, checked 2026-10-19: 기호 :의 오른쪽이 기준량, 「~에 대한」 읽기, 걸린 시간에 대한 간 거리의 비율, 비율이 쓰이는 예로 지도의 축척)
  • USGS Fact Sheet 015-02 "Map Scales" (pubs.usgs.gov/fs/2002/0015/report.pdf, checked 2026-10-17)
  • USGS FAQ "Why are USGS topographic maps called quadrangles?" (usgs.gov/faqs, checked 2026-10-17)
  • NIST Handbook 44 Appendix C, 1 mile = 1.609344 km and 1 inch = 2.54 cm exactly (nist.gov, checked 2026-10-17)
  • 산업통상자원부 보도자료 「산업부, 가격표시제 실시요령 개정」 2025-04-02 (motir.go.kr, 단위가격 표시품목 84개 → 114개, checked 2026-10-19)
  • 교육부 공식 블로그 「이상한 지하철 노선도」 2016-02-02 (if-blog.tistory.com/6161, 서울 지하철 1호선 노선도와 실제 노선 비교, checked 2026-10-19)
  • History block only: USGS FAQ "When was the 1:24,000-scale topographic map series completed?" (usgs.gov/faqs, checked 2026-10-17)

確認日: 2026-10-17