히스토그램과 계급 폭

OpenStax의 축구 선수 100명 키를 2인치 폭으로 묶으면 40명이 65.95~67.95인치에 들어갑니다. 시작점을 59로 옮기면 가장 높은 계급이 자리를 옮깁니다.

히스토그램은 겉보기에는 막대그래프처럼 생겼지만, 전혀 다른 질문에 답하는 그래프입니다. 막대그래프는 여러 항목들을 서로 비교합니다. 그에 비해 히스토그램은 한 가지 양을 잰 값들이 어떻게 퍼져 있는지, 즉 작은 값이 몇 개, 중간 값이 몇 개, 큰 값이 몇 개인지를 보여 줍니다. 히스토그램을 그리려면 먼저 수직선을 계급이라는 구간들로 자르고, 구간마다 값이 몇 개 들어가는지 셉니다. 그다음 그 개수를 높이로 하는 막대들을 서로 붙여서 그립니다. OpenStax는 값이 100개쯤 되거나 그보다 많을 때 히스토그램을 쓰라고 권합니다.

키 100개로 만들기

OpenStax 교과서에는 세미프로 축구 선수 100명의 키가 실려 있습니다. 키는 반 인치 단위로 가장 가까운 값에 맞춰 잰 것입니다. 가장 작은 선수는 60인치, 가장 큰 선수는 74인치입니다. 책은 계급의 시작점으로 자료보다 소수 한 자리 더 정밀한 편리한 값, 60 − 0.05 = 59.95를 고릅니다. 이렇게 하면 어떤 값도 계급의 경계에 딱 걸리지 않습니다. 계급을 8개로 하면 폭은 (74.05 − 59.95) ÷ 8 = 1.76이고, 올려서 2로 잡습니다. 계급은 59.95~61.95, 61.95~63.95, …, 73.95~75.95가 되고, 도수는 5, 3, 15, 40, 17, 12, 7, 1입니다. 이 도수들을 모두 더하면 선수 수와 같은 100이 됩니다.

폭이 그림을 바꿉니다

계급의 폭에는 하나뿐인 정답이 없습니다. 같은 시작점에서 폭을 4로 하면 도수는 8, 55, 29, 8이 됩니다. 굵은 막대 네 개만 남아서 자료의 세부를 가려 버립니다. 반대로 폭을 1로 좁히면 도수는 2, 3, 0, 3, 15, 0, 21, 19, 2, 15, 9, 3, 5, 2, 1로, 빈칸이 섞인 빗 모양이 됩니다. 이 빈칸들은 부분적으로는 키를 반 인치 단위로 반올림해서 잰 탓에 생긴 것입니다. 심지어 계급을 어디에서 시작하느냐도 결과를 바꿉니다. 폭은 2 그대로 두고 59.95 대신 59에서 시작하면 도수가 2, 3, 18, 21, 21, 24, 8, 3이 되고, 가장 높은 계급이 69~71인치로 바뀝니다. OpenStax가 소개하는 흔한 기준 하나는 값이 n개일 때 계급을 약 √n개로 하는 것입니다. 이 자료라면 √100 = 10개이고, 대부분의 히스토그램은 5~15개를 씁니다.

경계와 상대도수

때로는 어떤 값이 계급의 경계에 딱 걸릴 때도 있습니다. OpenStax는 그 값을 그 값이 왼쪽 끝인 계급에 넣고, 오른쪽 끝인 계급에는 넣지 않습니다. 이 단원의 실험실도 같은 규칙을 씁니다. 히스토그램의 세로축에는 계급마다 들어간 값의 개수인 도수를 쓸 수도 있고, 그 개수를 전체 개수로 나눈 상대도수를 쓸 수도 있습니다. 65.95~67.95 계급은 도수가 40이고 상대도수는 40 ÷ 100 = 0.40이므로, 선수의 40%가 이 범위에 있습니다. 세로축을 어느 쪽으로 적든 히스토그램의 모양은 똑같고, 축에 적힌 숫자만 바뀝니다.

막대그래프인가 히스토그램인가

가로축에 서로 다른 항목들이 늘어서 있다면 막대그래프를 쓰고, 가로축이 수직선이라면 히스토그램을 씁니다. 히스토그램 막대가 붙어 있는 이유가 여기에 있습니다. 예를 들어 61.95는 한 계급의 끝이면서 동시에 다음 계급의 시작입니다. 산 책 수처럼 작은 자연수로 된 자료에서는 막대그래프와 히스토그램이 서로 비슷해 보입니다. 이때 OpenStax는 0.5에서 시작해 폭 1로 묶어서 막대 하나하나가 자연수 위에 오게 합니다.

폭이 다른 계급

대부분의 히스토그램은 계급 폭을 모두 똑같이 잡습니다. 그렇게 해야 막대의 높이를 서로 비교할 수 있습니다. OpenStax는 반대의 경우를 경고합니다. 한 계급만 넓히면 그 막대가 더 넓은 면적을 차지하게 되어, 읽는 사람의 눈은 그 계급에 실제 도수보다 더 큰 무게를 줍니다. 소득 구간처럼 폭이 다른 계급을 피할 수 없을 때는 막대 높이를 도수 ÷ 계급 폭, 즉 밀도로 그려야 넓이가 다시 도수와 맞습니다. 분포 과정에 있는 표본 크기 단원의 실험실이 바로 이렇게 막대를 그립니다.