Гистограммы и ширина интервала

При ширине интервала 2 дюйма 40 из 100 футболистов OpenStax попадают в промежуток от 65.95 до 67.95 дюйма; сдвинь начало на 59, и самый высокий столбец переместится.

Гистограмма похожа на столбчатую диаграмму, но отвечает на другой вопрос. Столбчатая диаграмма сравнивает категории. Гистограмма показывает распределение значений одной измеряемой величины: сколько малых, средних и больших. Для её построения числовую ось делят на интервалы, подсчитывают значения в каждом и рисуют соприкасающиеся столбцы соответствующей высоты. OpenStax рекомендует гистограмму для примерно 100 значений и более.

Строим по 100 измерениям роста

OpenStax приводит рост 100 полупрофессиональных футболистов, измеренный с округлением до половины дюйма: от 60 до 74 дюймов. В книге выбирают удобное начало с одним дополнительным десятичным знаком, 60 − 0.05 = 59.95, чтобы ни одно значение не попало на границу. Для 8 интервалов ширина составила бы (74.05 − 59.95) ÷ 8 = 1.76, её округляют вверх до 2. Получаются интервалы от 59.95 до 61.95, от 61.95 до 63.95 и так далее до промежутка от 73.95 до 75.95. Частоты: 5, 3, 15, 40, 17, 12, 7 и 1. В сумме 100.

Ширина меняет картину

Единственной правильной ширины нет. При ширине 4 и том же начале частоты равны 8, 55, 29 и 8: четыре широких столбца скрывают детали. При ширине 1 получаем 2, 3, 0, 3, 15, 0, 21, 19, 2, 15, 9, 3, 5, 2 и 1: гребёнку с пустыми промежутками, частично вызванными округлением измерений до половины дюйма. Даже начало важно. Оставь ширину 2, но начни с 59 вместо 59.95, и частоты станут 2, 3, 18, 21, 21, 24, 8 и 3; самый высокий столбец теперь соответствует промежутку от 69 до 71 дюйма. OpenStax упоминает распространённое правило: примерно √n интервалов, то есть √100 = 10 для этих данных; на большинстве гистограмм от 5 до 15 интервалов.

Границы и относительная частота

Иногда значение попадает точно на границу. OpenStax относит его к интервалу, для которого это левый конец, а не правый; лаборатория делает так же. Вертикальная ось может показывать частоту, то есть число значений в интервале, или относительную частоту, это число, делённое на общее количество. Интервал от 65.95 до 67.95 имеет частоту 40 и относительную частоту 40 ÷ 100 = 0.40, то есть в него входят 40% игроков. Форма одинакова при обеих подписях; меняются только числа на оси.

Столбчатая диаграмма или гистограмма?

Используй столбчатую диаграмму, если горизонтальная ось перечисляет отдельные категории, и гистограмму, если это числовая ось. Поэтому столбцы гистограммы соприкасаются: 61.95 является концом одного интервала и началом следующего. Для небольших целых чисел, например количества купленных книг, рисунки похожи; OpenStax располагает каждый столбец по центру целого числа, задавая начало 0.5 и ширину 1.

Неравные интервалы

Обычно интервалы гистограммы имеют равную ширину, и именно это позволяет сравнивать высоты. OpenStax предупреждает об обратном: расширенный интервал занимает больше площади, и глаз придаёт ему больше веса, чем заслуживает его частота. Если без неравной ширины не обойтись, например для групп доходов, высоту нужно задать как частоту, делённую на ширину интервала, то есть плотность. Тогда площадь снова соответствует частоте. Именно так устроены столбцы лаборатории объёма выборки в курсе о распределениях.