Histogramme und Klassenbreite

Bei 2 Zoll breiten Klassen liegen 40 von OpenStax' 100 Fußballspielern zwischen 65.95 und 67.95 Zoll. Verschiebt man den Beginn auf 59, wandert die höchste Klasse.

Ein Histogramm ähnelt einem Säulendiagramm, beantwortet aber eine andere Frage. Ein Säulendiagramm vergleicht Kategorien. Ein Histogramm zeigt, wie die Werte einer Messgröße verteilt sind: wie viele klein, mittel oder groß sind. Dazu teilst du die Zahlengerade in Intervalle, die Klassen heißen, zählst die Werte in jeder Klasse und zeichnest aneinandergrenzende Säulen mit den entsprechenden Häufigkeiten als Höhen. OpenStax empfiehlt Histogramme ab etwa 100 Werten.

Ein Histogramm aus 100 Körpergrößen

OpenStax listet die Körpergrößen von 100 semiprofessionellen Fußballspielern, auf einen halben Zoll gerundet, zwischen 60 und 74 Zoll. Das Buch wählt als Anfang einen Wert mit einer zusätzlichen Nachkommastelle: 60 − 0.05 = 59.95. So liegt kein Messwert auf einer Grenze. Bei 8 Klassen ergäbe sich die Breite (74.05 − 59.95) ÷ 8 = 1.76, aufgerundet auf 2. Die Klassen reichen von 59.95 bis 61.95, 61.95 bis 63.95 und so weiter bis 73.95 bis 75.95. Ihre Häufigkeiten lauten 5, 3, 15, 40, 17, 12, 7 und 1, zusammen 100.

Die Breite verändert das Bild

Es gibt nicht die eine richtige Breite. Bei Breite 4 und gleichem Beginn lauten die Häufigkeiten 8, 55, 29 und 8: vier breite Säulen, die Einzelheiten verbergen. Bei Breite 1 werden daraus 2, 3, 0, 3, 15, 0, 21, 19, 2, 15, 9, 3, 5, 2 und 1. Die Lücken dieses Kamms entstehen teilweise durch das Runden auf halbe Zoll. Auch der Beginn zählt. Mit Breite 2 ab 59 statt 59.95 lauten die Häufigkeiten 2, 3, 18, 21, 21, 24, 8 und 3. Die höchste Klasse liegt nun zwischen 69 und 71 Zoll. OpenStax nennt als Faustregel etwa √n Klassen, hier also √100 = 10. Die meisten Histogramme haben zwischen 5 und 15 Klassen.

Grenzen und relative Häufigkeit

Manchmal liegt ein Wert genau auf einer Grenze. OpenStax zählt ihn zur Klasse, deren linker Rand er ist, nicht zu der, die dort endet. Das Labor macht es ebenso. Die senkrechte Achse kann die absolute Häufigkeit zeigen, also die Anzahl je Klasse, oder die relative Häufigkeit, die Anzahl geteilt durch die Gesamtzahl. Die Klasse von 65.95 bis 67.95 hat die absolute Häufigkeit 40 und die relative Häufigkeit 40 ÷ 100 = 0.40. Also liegen 40% der Spieler in diesem Bereich. Die Form bleibt gleich, nur die Achsenzahlen ändern sich.

Säulendiagramm oder Histogramm?

Nutze ein Säulendiagramm, wenn die waagerechte Achse getrennte Kategorien aufzählt, und ein Histogramm, wenn sie eine Zahlengerade ist. Deshalb berühren sich die Histogrammsäulen: 61.95 ist zugleich das Ende einer Klasse und der Anfang der nächsten. Bei kleinen ganzzahligen Daten, etwa Buchkäufen, sehen beide Darstellungen ähnlich aus. OpenStax zentriert jede Säule auf einer ganzen Zahl, indem die Klassen bei 0.5 beginnen und die Breite 1 haben.

Ungleich breite Klassen

Die meisten Histogramme verwenden gleich breite Klassen. Dadurch lassen sich ihre Säulenhöhen vergleichen. OpenStax warnt vor dem Gegenteil: Eine breitere Klasse nimmt mehr Fläche ein und erhält im Auge mehr Gewicht, als ihre Anzahl rechtfertigt. Sind ungleiche Breiten unvermeidbar, etwa bei Einkommensklassen, sollte die Höhe gleich Anzahl geteilt durch Klassenbreite sein, also eine Dichte. Dann entspricht die Fläche wieder der Anzahl. Das Labor zum Stichprobenumfang im Kurs über Verteilungen zeichnet seine Säulen so.