Gleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

2/7 + 3/7 = 5/7. Siebtel plus Siebtel sind wieder Siebtel, also ändern sich nur die Zähler.

Gleich große Stücke zählen

Drei Äpfel und zwei Äpfel sind fünf Äpfel. Niemand addiert das Wort Äpfel zu sich selbst und bekommt Äpfel-Äpfel. Bei Brüchen mit demselben Nenner ist es genauso. Der Nenner benennt die Stückgröße, so wie das Wort Äpfel, und der Zähler zählt die Stücke. 2/7 + 3/7 bedeutet also zwei Siebtel plus drei Siebtel, und das sind fünf Siebtel: 5/7.

Die Regel: Sind die Nenner gleich, addierst oder subtrahierst du die Zähler und behältst den Nenner. In Zeichen: a/n + b/n = (a + b)/n und a/n − b/n = (a − b)/n. Das ist schon die ganze Methode. Im Rest dieser Einheit geht es darum, sie sorgfältig anzuwenden und das Ergebnis aufzuräumen.

Warum du die Nenner nicht addieren darfst

Der häufigste Fehler ist, auch die Nenner zu addieren: 2/7 + 3/7 = 5/14. Eine kurze Probe zeigt das Problem. 5/14 ist kleiner als 1/2, während 3/7 allein schon fast 1/2 ist, und wenn man 2/7 dazugibt, muss es größer werden. Nenner zu addieren hieße, dass die Stücke beim Zusammenlegen irgendwie schrumpfen. Beim Addieren von Brüchen ändert sich nie die Größe eines Stücks, nur die Anzahl der Stücke.

Das Ergebnis kürzen

Die Summe zweier vollständig gekürzter Brüche ist nicht immer vollständig gekürzt. 1/8 + 3/8 = 4/8, und 4/8 lässt sich kürzen zu 1/2. 7/10 − 3/10 = 4/10 = 2/5. 5/12 + 1/12 = 6/12 = 1/2. Schau dir das Ergebnis immer an und kürze jeden gemeinsamen Teiler heraus, wie in Einheit 4.

Ergebnisse größer als 1

Ergeben die Zähler zusammen mehr als den Nenner, ist das Ergebnis mehr als ein Ganzes. 5/6 + 5/6 = 10/6. Kürze mit 2 und du erhältst 5/3, also 1 Ganzes und noch 2/3. Einheit 8 zeigt, wie du zwischen 5/3 und der gemischten Zahl 1 2/3 wechselst. Beide Formen sind richtige Antworten. Mit unechten Brüchen lässt sich meist leichter weiterrechnen.

Von 1 subtrahieren

Um einen Bruch von 1 abzuziehen, schreibst du 1 als Bruch mit demselben Nenner. 1 − 3/10 = 10/10 − 3/10 = 7/10. Wurden 3/10 einer Tankfüllung verbraucht, bleiben 7/10 übrig. Derselbe Trick klappt mit jeder ganzen Zahl: 2 − 3/4 = 8/4 − 3/4 = 5/4.

Unterwegs auf dem Zahlenstrahl

Der Zahlenstrahl aus Einheit 2 liefert ein zweites Bild für dieselbe Regel. Einen Bruch mit demselben Nenner zu addieren heißt, in Schritten dieser Größe nach rechts zu gehen. Für 3/8 + 4/8 startest du bei 3/8 und gehst 4 weitere Achtelschritte: Du landest bei 7/8. Subtrahieren heißt, nach links zu gehen. Das Bild zeigt auch, warum eine Summe über 1 hinausgehen kann. Starte bei 5/6 und geh fünf weitere Sechstelschritte: Der erste bringt dich zu 6/6, also zu 1, und die anderen vier tragen dich weiter bis 10/6.

Eine Subtraktion kannst du immer durch Zurückaddieren prüfen. Wenn 9/10 − 4/10 = 5/10 ist, muss 5/10 + 4/10 wieder 9/10 ergeben, und das tut es. So eine Probe dauert ein paar Sekunden und deckt die meisten Fehler bei Vorzeichen und Zählern auf.

Mehr als zwei Brüche

Die Regel gilt für beliebig viele Brüche mit demselben Nenner. 1/5 + 2/5 + 4/5 = 7/5. Gemischte Additionen und Subtraktionen rechnest du von links nach rechts: 9/11 − 4/11 + 2/11 = 5/11 + 2/11 = 7/11.

Beispiele mit Rechenweg

Beispiel 1. Du gießt 3/4 Tasse Wasser in eine Schüssel und dann noch einmal 3/4 Tasse. Wie viel Wasser ist in der Schüssel? 3/4 + 3/4 = 6/4 = 3/2 Tassen, also anderthalb Tassen.

Beispiel 2. Ein Wanderweg ist 9/10 km lang, und du bist 4/10 km gegangen. Wie weit ist es noch? 9/10 − 4/10 = 5/10 = 1/2 km.

Beispiel 3. Ein Film dauert 7/4 Stunden, und du hast 5/4 Stunden gesehen. 7/4 − 5/4 = 2/4 = 1/2 Stunde, es bleiben also 30 Minuten.