Brüche kürzen

24/36 und 2/3 sind dieselbe Zahl. Teilt man oben und unten durch 12, wird aus dem einen der andere.

Was „vollständig gekürzt“ bedeutet

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler haben außer 1. 2/3 ist vollständig gekürzt, denn keine ganze Zahl größer als 1 teilt zugleich 2 und 3. 24/36 ist es nicht, denn 2, 3, 4, 6 und 12 teilen beide Zahlen. Einen Bruch kürzen heißt, ihn als gleichwertigen Bruch in vollständig gekürzter Form zu schreiben.

Kürzen verändert, wie der Bruch aussieht, aber nie, wie groß er ist. Jede Division durch einen gemeinsamen Teiler fasst Gruppen kleiner Stücke zu größeren Stücken zusammen, genau umgekehrt wie das Falten in der letzten Einheit. Ein gekürztes Ergebnis ist leichter zu lesen, leichter mit anderen Brüchen zu vergleichen und leichter zu überprüfen. Deshalb wird es in vielen Aufgaben verlangt.

Methode 1: Schritt für Schritt durch kleine Teiler teilen

Such eine kleine Zahl, die beide Teile teilt, dividiere und wiederhole das, bis nichts mehr geht. Bei 24/36 sind beide Zahlen gerade, also teile durch 2: 12/18. Immer noch beide gerade: 6/9. Jetzt sind beide durch 3 teilbar: 2/3. Die Zahlen 2 und 3 haben keinen gemeinsamen Teiler mehr, also ist 2/3 vollständig gekürzt. Diese Methode braucht keine Planung, nur Geduld.

Teilbarkeitsregeln helfen dir, Teiler zu erkennen. Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist, durch 5, wenn sie auf 0 oder 5 endet, und durch 10, wenn sie auf 0 endet. Sie ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist, und durch 9, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist. Bei 51/87 gilt: 5 + 1 = 6 und 8 + 7 = 15, beide durch 3 teilbar, also 51/87 = 17/29.

Methode 2: einmal durch den größten gemeinsamen Teiler teilen

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier Zahlen ist die größte Zahl, die beide teilt. Teilst du durch ihn, ist der Bruch in einem Schritt gekürzt. Um ihn zu finden, schreibst du die Teiler beider Zahlen auf. Die Teiler von 24 sind 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Die Teiler von 36 sind 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Die größte Zahl, die in beiden Listen steht, ist 12, und 24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3.

Bei größeren Zahlen geht es mit Primfaktoren schneller. Schreibe jede Zahl als Produkt von Primzahlen: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 und 126 = 2 × 3 × 3 × 7. Gemeinsam sind eine 2, eine 3 und eine 7, also ist der ggT 2 × 3 × 7 = 42. Damit ist 84/126 = 2/3. Du kannst die gemeinsamen Primfaktoren auch direkt oben und unten wegkürzen und bekommst dasselbe Ergebnis.

Ein dritter Weg zum ggT arbeitet mit Resten und braucht keine Teilerlisten. Teile die größere Zahl durch die kleinere und merk dir den Rest: 126 ÷ 84 lässt den Rest 42. Teile dann 84 durch 42, das lässt den Rest 0. Sobald der Rest 0 ist, ist der letzte Divisor, 42, der ggT. Diese Methode benutzen Computer, weil sie auch bei sehr großen Zahlen schnell bleibt.

Sonderfälle

Unechte Brüche kürzt man genauso: 22/8 = 11/4, wenn man beide Teile durch 2 teilt. Ein Bruch mit dem Zähler 0, etwa 0/7, ist gleich 0, egal wie der Nenner lautet. Teilt der Zähler den Nenner ohne Rest, entsteht ein Stammbruch: 7/35 = 1/5. Teilt der Nenner den Zähler ohne Rest, entsteht eine ganze Zahl: 35/7 = 5.

Ein häufiger Ausrutscher ist es, Ziffern statt Teiler zu kürzen. Bei 16/64 ist es verlockend, die beiden Sechsen zu streichen und 1/4 zu schreiben. Das Ergebnis stimmt zufällig, aber der Weg ist falsch: Versuch es mit 13/39, dann bekommst du 1/9, obwohl der richtige Wert 1/3 ist. Kürzen darfst du nur ganze Teiler, die beide Zahlen teilen.

Beispiel. Kürze 45/75. Beide enden auf 5, also teile durch 5: 9/15. Beide sind durch 3 teilbar: 3/5. Probe mit dem ggT: Die gemeinsamen Teiler von 45 und 75 sind 1, 3, 5 und 15, also ist der ggT 15, und 45 ÷ 15 = 3, 75 ÷ 15 = 5.