Simplificação de frações

24/36 e 2/3 são o mesmo número. Dividir em cima e embaixo por 12 transforma uma na outra.

O que significa forma irredutível

Uma fração está na forma irredutível quando o numerador e o denominador não têm fator comum além de 1. 2/3 é irredutível, porque nenhum número inteiro maior que 1 divide ao mesmo tempo 2 e 3. 24/36 não é, porque 2, 3, 4, 6 e 12 dividem os dois números. Simplificar uma fração é reescrevê-la como a fração equivalente na forma irredutível.

Simplificar muda a aparência da fração, nunca o tamanho dela. Cada divisão por um fator comum junta grupos de pedaços pequenos em pedaços maiores, exatamente o contrário das dobras da unidade anterior. Uma resposta simplificada é mais fácil de ler, de comparar com outras frações e de conferir, e por isso muitas questões pedem essa forma.

Método 1: dividir por fatores pequenos, passo a passo

Procure um número pequeno que divida as duas partes, divida e repita até não dar mais. Em 24/36, os dois números são pares, então divida por 2: 12/18. Continuam pares: 6/9. Agora os dois são divisíveis por 3: 2/3. Entre 2 e 3 não sobra fator comum, então 2/3 é a forma irredutível. Esse método não exige planejamento, só paciência.

Os critérios de divisibilidade ajudam a encontrar fatores. Um número é divisível por 2 se o último algarismo é par, por 5 se termina em 0 ou 5, e por 10 se termina em 0. É divisível por 3 se a soma dos algarismos é divisível por 3, e por 9 se a soma dos algarismos é divisível por 9. Em 51/87: 5 + 1 = 6 e 8 + 7 = 15, ambos divisíveis por 3, então 51/87 = 17/29.

Método 2: dividir uma vez pelo máximo divisor comum

O máximo divisor comum (MDC) de dois números é o maior número que divide os dois. Dividir por ele simplifica a fração num passo só. Para achá-lo, liste os divisores de cada número. Os divisores de 24 são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Os divisores de 36 são 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. O maior que aparece nas duas listas é 12, e 24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3.

Com números maiores, os fatores primos são mais rápidos. Escreva cada número como produto de primos: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 e 126 = 2 × 3 × 3 × 7. Os primos comuns são um 2, um 3 e um 7, então o MDC é 2 × 3 × 7 = 42. Daí 84/126 = 2/3. Você também pode cancelar os primos comuns direto em cima e embaixo, o que dá o mesmo resultado.

Uma terceira forma de achar o MDC usa restos e dispensa listas de divisores. Divida o número maior pelo menor e guarde o resto: 126 ÷ 84 deixa resto 42. Depois divida 84 por 42, que deixa resto 0. Quando o resto chega a 0, o último divisor, 42, é o MDC. É o método que os computadores usam, porque continua rápido mesmo com números muito grandes.

Casos especiais

As frações impróprias se simplificam do mesmo jeito: 22/8 = 11/4, dividindo as duas partes por 2. Uma fração com numerador 0, como 0/7, vale 0 qualquer que seja o denominador. Quando o numerador divide o denominador exatamente, o resultado é uma fração unitária: 7/35 = 1/5. Quando o denominador divide o numerador exatamente, o resultado é um número inteiro: 35/7 = 5.

Um deslize comum é cancelar algarismos em vez de fatores. Em 16/64 dá vontade de riscar os dois seis e escrever 1/4. A resposta por acaso está certa, mas o método está errado: tente em 13/39 e você obtém 1/9, quando o valor verdadeiro é 1/3. Só podem ser cancelados fatores inteiros que dividem os dois números.

Exemplo. Simplifique 45/75. Os dois terminam em 5, então divida por 5: 9/15. Os dois são divisíveis por 3: 3/5. Confira com o MDC: os divisores comuns de 45 e 75 são 1, 3, 5 e 15, então o MDC é 15, e 45 ÷ 15 = 3, 75 ÷ 15 = 5.