Simplifier une fraction

24/36 et 2/3 sont le même nombre. Diviser le numérateur et le dénominateur par 12 transforme l'une en l'autre.

Ce que veut dire irréductible

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont pas d'autre diviseur commun que 1. 2/3 est irréductible, car aucun nombre entier plus grand que 1 ne divise à la fois 2 et 3. 24/36 ne l'est pas, car 2, 3, 4, 6 et 12 divisent les deux nombres. Simplifier une fraction, c'est l'écrire sous la forme de la fraction irréductible qui lui est égale.

Simplifier change l'allure de la fraction, jamais sa taille. Chaque division par un diviseur commun regroupe des petites parts en parts plus grandes, exactement l'inverse du pliage de l'unité précédente. Une réponse simplifiée est plus facile à lire, à comparer avec d'autres fractions et à vérifier : c'est pour cela que beaucoup de questions la demandent.

Méthode 1 : diviser par de petits diviseurs, étape par étape

Cherche un petit nombre qui divise les deux nombres, divise, et recommence jusqu'à ce que plus rien ne marche. Pour 24/36, les deux nombres sont pairs, donc divise par 2 : 12/18. Toujours pairs : 6/9. Maintenant, les deux sont divisibles par 3 : 2/3. Ni 2 ni 3 n'ont plus de diviseur commun, donc 2/3 est la fraction irréductible. Cette méthode ne demande aucune préparation, seulement de la patience.

Les critères de divisibilité aident à repérer les diviseurs. Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair, par 5 s'il se termine par 0 ou 5, et par 10 s'il se termine par 0. Il est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, et par 9 si cette somme est divisible par 9. Pour 51/87 : 5 + 1 = 6 et 8 + 7 = 15, tous deux divisibles par 3, donc 51/87 = 17/29.

Méthode 2 : diviser une seule fois par le PGCD

Le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux nombres est le plus grand nombre qui les divise tous les deux. Diviser par le PGCD simplifie la fraction en une seule étape. Pour le trouver, liste les diviseurs de chaque nombre. Les diviseurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Ceux de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Le plus grand présent dans les deux listes est 12, et 24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3.

Pour de grands nombres, les facteurs premiers vont plus vite. Écris chaque nombre comme un produit de nombres premiers : 84 = 2 × 2 × 3 × 7 et 126 = 2 × 3 × 3 × 7. Les facteurs premiers communs sont un 2, un 3 et un 7, donc le PGCD vaut 2 × 3 × 7 = 42. Alors 84/126 = 2/3. Tu peux aussi barrer directement les facteurs premiers communs en haut et en bas : le résultat est le même.

Une troisième façon de trouver le PGCD utilise les restes et ne demande aucune liste de diviseurs. Divise le plus grand nombre par le plus petit et garde le reste : 126 ÷ 84 laisse 42. Divise ensuite 84 par 42, ce qui laisse 0. Quand le reste atteint 0, le dernier diviseur, 42, est le PGCD. C'est la méthode qu'utilisent les ordinateurs (l'algorithme d'Euclide), car elle reste rapide même pour de très grands nombres.

Cas particuliers

Les fractions dont le numérateur dépasse le dénominateur se simplifient de la même façon : 22/8 = 11/4, en divisant les deux nombres par 2. Une fraction de numérateur 0, comme 0/7, vaut 0 quel que soit le dénominateur. Quand le numérateur divise exactement le dénominateur, on obtient une fraction unitaire : 7/35 = 1/5. Quand le dénominateur divise exactement le numérateur, on obtient un nombre entier : 35/7 = 5.

Une erreur fréquente consiste à barrer des chiffres au lieu de facteurs. Dans 16/64, on est tenté de barrer les deux six et d'écrire 1/4. La réponse se trouve être juste, mais la méthode est fausse : essaie-la sur 13/39 et tu obtiens 1/9, alors que la vraie valeur est 1/3. On ne peut barrer que des facteurs entiers qui divisent les deux nombres.

Exemple. Simplifie 45/75. Les deux se terminent par 5, donc divise par 5 : 9/15. Les deux sont divisibles par 3 : 3/5. Vérifie avec le PGCD : les diviseurs communs de 45 et 75 sont 1, 3, 5 et 15, donc le PGCD vaut 15, et 45 ÷ 15 = 3, 75 ÷ 15 = 5.