Additionner et soustraire avec des dénominateurs différents

1/2 + 1/3 = 5/6. Le résultat n'apparaît qu'une fois les demis et les tiers recoupés en sixièmes.

On ne peut pas compter ensemble des parts différentes

Dans l'unité précédente, les parts avaient la même taille, donc additionner revenait à compter. Essaie maintenant 1/2 + 1/3. Une part est une moitié, l'autre un tiers. Tu ne peux pas dire que tu as deux de quelque chose, car les deux parts n'ont pas la même taille. Avant de les compter ensemble, il faut les recouper dans une taille qui convient aux deux.

Les sixièmes conviennent. Une moitié fait 3 sixièmes et un tiers 2 sixièmes, donc 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. Le nombre 6 est un dénominateur commun : un nombre divisible par les deux dénominateurs. Une fois les deux fractions écrites en sixièmes, le problème devient une somme ordinaire de même dénominateur.

Trouver un dénominateur commun

N'importe quel multiple commun des deux dénominateurs peut servir de dénominateur commun. Le produit des dénominateurs marche toujours : pour 3/4 + 5/6, on peut prendre 4 × 6 = 24. Le plus petit dénominateur commun, c'est-à-dire le plus petit multiple commun, garde des nombres plus petits. Pour le trouver, liste les multiples du plus grand dénominateur jusqu'à en trouver un divisible par le plus petit. Les multiples de 6 sont 6, 12, 18, etc. ; 12 est le premier divisible par 4, donc le plus petit dénominateur commun de 4 et 6 est 12.

Les quatre étapes

Un : trouve un dénominateur commun. Deux : réécris chaque fraction en une fraction égale ayant ce dénominateur, en multipliant en haut et en bas par le même nombre. Trois : additionne ou soustrais les numérateurs. Quatre : simplifie le résultat. Pour 3/4 + 5/6 avec le dénominateur commun 12 : 3/4 = 9/12 et 5/6 = 10/12, donc la somme vaut 19/12. Aucun nombre ne divise à la fois 19 et 12, donc 19/12 est le résultat final, un peu plus de 1 et demi.

La soustraction suit les mêmes étapes. 7/8 − 1/6 : les multiples de 8 sont 8, 16, 24, et 24 est le premier que 6 divise. 7/8 = 21/24 et 1/6 = 4/24, donc la différence vaut 17/24. Avec trois fractions, cherche un seul dénominateur pour toutes. 2/3 + 1/4 + 1/6 utilise 12 : 8/12 + 3/12 + 2/12 = 13/12.

Un raccourci pour deux fractions

Prendre le produit des dénominateurs donne une formule en une ligne : a/b + c/d = (a × d + c × b)/(b × d). Pour 3/5 − 1/4 : (3 × 4 − 1 × 5)/(5 × 4) = (12 − 5)/20 = 7/20. La formule donne toujours un résultat juste, mais quand les dénominateurs ont un diviseur commun, il faut simplifier. 1/4 + 1/6 avec la formule donne 10/24, qui se simplifie en 5/12, le même résultat que celui obtenu directement avec le plus petit dénominateur commun.

Vérifier par un ordre de grandeur

Une estimation grossière attrape la plupart des erreurs. 1/2 + 1/3 doit être plus grand que 1/2 et plus petit que 1, et 5/6 l'est bien. La mauvaise réponse tentante, additionner les numérateurs et les dénominateurs pour obtenir 2/5, est inférieure à 1/2, ce qui est impossible quand l'une des deux parts vaut déjà 1/2. Cette mauvaise méthode donne la médiante de l'unité 2, un nombre compris entre les deux fractions, jamais leur somme.

Exemple. Une recette utilise 1/2 tasse de flocons d'avoine et 2/3 de tasse de farine. Combien cela fait-il d'ingrédients secs ? Le plus petit dénominateur commun de 2 et 3 est 6 : 3/6 + 4/6 = 7/6 tasses, un peu plus d'une tasse.