Ungleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

1/2 + 1/3 = 5/6. Das Ergebnis wird erst sichtbar, wenn Halbe und Drittel beide in Sechstel zerlegt werden.

Verschiedene Stücke kann man nicht zusammenzählen

In der letzten Einheit waren die Stücke gleich groß, also hieß Addieren einfach Zählen. Versuch jetzt 1/2 + 1/3. Das eine Stück ist ein Halbes, das andere ein Drittel. Du kannst nicht sagen, dass du von irgendetwas zwei hast, denn die beiden Stücke sind verschieden groß. Bevor man die Stücke zusammenzählen kann, müssen sie in eine Größe zerlegt werden, die zu beiden passt.

Sechstel passen. Ein Halbes sind 3 Sechstel und ein Drittel sind 2 Sechstel, also 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. Die Zahl 6 ist ein gemeinsamer Nenner: eine Zahl, in die beide Nenner hineinpassen. Sobald beide Brüche in Sechsteln geschrieben sind, ist die Aufgabe eine ganz normale Summe gleichnamiger Brüche.

Einen gemeinsamen Nenner finden

Jedes gemeinsame Vielfache der beiden Nenner kann gemeinsamer Nenner sein. Das Produkt der Nenner funktioniert immer: Für 3/4 + 5/6 könntest du 4 × 6 = 24 nehmen. Der Hauptnenner, also das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV), hält die Zahlen kleiner. Um ihn zu finden, schreibst du Vielfache des größeren Nenners auf, bis eines durch den kleineren teilbar ist. Die Vielfachen von 6 sind 6, 12, 18 und so weiter. 12 ist das erste, das durch 4 teilbar ist, also ist der Hauptnenner von 4 und 6 die 12.

Die vier Schritte

Erstens: Finde einen gemeinsamen Nenner. Zweitens: Schreib jeden Bruch als gleichwertigen Bruch mit diesem Nenner, indem du oben und unten mit derselben Zahl multiplizierst. Drittens: Addiere oder subtrahiere die Zähler. Viertens: Kürze das Ergebnis. Für 3/4 + 5/6 mit dem Hauptnenner 12 gilt: 3/4 = 9/12 und 5/6 = 10/12, also ist die Summe 19/12. Keine Zahl teilt sowohl 19 als auch 12, also bleibt es bei 19/12, etwas mehr als 1 Ganzes und ein Halbes.

Beim Subtrahieren gehst du genauso vor. 7/8 − 1/6: Die Vielfachen von 8 sind 8, 16, 24, und 24 ist das erste, das durch 6 teilbar ist. 7/8 = 21/24 und 1/6 = 4/24, also ist die Differenz 17/24. Bei drei Brüchen suchst du einen Nenner für alle. Für 2/3 + 1/4 + 1/6 nimmst du 12: 8/12 + 3/12 + 2/12 = 13/12.

Eine Abkürzung für zwei Brüche

Nimmt man das Produkt der Nenner, ergibt sich eine Formel in einer Zeile: a/b + c/d = (a × d + c × b)/(b × d). Für 3/5 − 1/4: (3 × 4 − 1 × 5)/(5 × 4) = (12 − 5)/20 = 7/20. Die Formel liefert immer ein richtiges Ergebnis, aber wenn die Nenner einen gemeinsamen Teiler haben, muss man das Ergebnis noch kürzen. 1/4 + 1/6 ergibt mit der Formel 10/24, gekürzt 5/12, also dasselbe, was der Hauptnenner direkt liefert.

Mit einer Überschlagsrechnung prüfen

Ein grober Überschlag deckt die meisten Fehler auf. 1/2 + 1/3 muss mehr als 1/2 und weniger als 1 sein, und 5/6 ist das. Die verlockende falsche Antwort, oben und unten zu addieren und 2/5 zu erhalten, ist kleiner als 1/2. Das ist unmöglich, wenn einer der beiden Summanden schon 1/2 ist. Dieser falsche Weg liefert den Mediant aus Einheit 2, eine Zahl zwischen den beiden Brüchen, aber nie ihre Summe.

Beispiel. Ein Rezept braucht 1/2 Tasse Haferflocken und 2/3 Tasse Mehl. Wie viel trockene Mischung ist das? Der Hauptnenner von 2 und 3 ist 6: 3/6 + 4/6 = 7/6 Tassen, etwas mehr als eine Tasse.