Was ein Bruch ist

In 3/8 sagt die 8, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt wurde, und die 3, wie viele dieser Teile du hast.

Gleich große Teile eines Ganzen

Schneide eine Pizza in 8 gleich große Stücke und iss 3 davon, dann hast du 3/8 der Pizza gegessen. Dieser kurze Ausdruck enthält zwei getrennte Informationen. Die untere Zahl, 8, sagt dir, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wurde. Die obere Zahl, 3, sagt dir, um wie viele dieser Teile es geht. Ein Bruch ist eine Schreibweise für einen Teil von etwas oder für eine Zahl, die zwischen ganzen Zahlen liegt, und er benutzt dafür genau diese zwei Anzahlen.

Die untere Zahl heißt Nenner, die obere Zähler. So kannst du sie auseinanderhalten: Der Nenner benennt die Art des Stücks (Achtel, Drittel, Zehntel), so wie ein Nomen ein Ding benennt, und der Zähler zählt, wie viele solcher Stücke du hast. Der Strich dazwischen ist der Bruchstrich. Schreibt man einen Bruch in eine Zeile, wie bei 3/8, übernimmt der Schrägstrich dieselbe Aufgabe.

Das Wort „gleich groß“ ist in der Definition wichtiger als alles andere. Schneidest du einen Kuchen in 4 verschieden große Stücke und nimmst eins, dann hast du nicht 1/4 des Kuchens. Du hast ein Stück, und niemand kann sagen, wie groß es ist, ohne nachzumessen. Ein Nenner verrät die Größe eines Teils nur dann, wenn alle Teile gleich groß sind.

Mit dem Streifen oben kannst du Brüche bauen. Wähle, aus wie vielen gleich großen Teilen der Streifen besteht, und klicke Teile an, um sie zu färben. Die Zeile unter dem Streifen zeigt den Bruch, denselben Anteil als Dezimalzahl und in Prozent. Färbe 2 von 8 Teilen, stell dann auf 4 Teile um und färbe 1: Die gefärbte Länge ist gleich, und beide Male steht dort 0.25.

Stammbrüche sind die Bausteine

Ein Bruch mit dem Zähler 1, etwa 1/2, 1/5 oder 1/100, heißt Stammbruch. Er ist ein einzelnes Stück des Ganzen. Jeden anderen Bruch kannst du aus Stammbrüchen zusammensetzen: 3/8 sind drei Stücke der Größe 1/8, also 1/8 + 1/8 + 1/8. Dieses Bild eines Bruchs, eine Anzahl gleich großer Stücke, ist das nützlichste, das du dir merken kannst, und die späteren Einheiten greifen immer wieder darauf zurück. Im Englischen liest man Brüche mit der Anzahl zuerst und der Stückgröße danach: one third, three quarters, five eighths. Im Deutschen ist es genauso: ein Drittel, drei Viertel, fünf Achtel.

Brüche, die größer als eins sind

Nichts hindert den Zähler daran, größer als der Nenner zu sein. Hast du 7 Viertel-Tassen Mehl, dann hast du 7/4 Tassen, also mehr als eine volle Tasse. Ein Bruch wie 7/4, dessen Zähler größer als der Nenner oder gleich groß ist, heißt unechter Bruch. Der Name ist alt und ein bisschen irreführend, denn mit so einem Bruch ist alles in Ordnung. Oft ist er sogar die bequemste Form zum Rechnen. Ein Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist, etwa 3/4, ist ein echter Bruch und immer kleiner als 1.

Zwei Sonderfälle solltest du kennen. Ist der Zähler gleich dem Nenner, wie bei 4/4 oder 9/9, hast du alle Teile, also ist der Bruch gleich 1. Ist der Nenner 1, wie bei 5/1, wurde das Ganze gar nicht zerschnitten, also ist der Bruch die ganze Zahl 5. Der Nenner 0 ist nicht erlaubt: Man kann nichts in null gleich große Teile zerlegen, und durch null zu teilen hat kein Ergebnis.

Ein Bruch ist auch eine Division

Der Bruchstrich hat eine zweite Bedeutung: geteilt durch. Der Bruch 3/4 ist das Ergebnis von 3 ÷ 4. Stell dir 3 gleiche Pizzen vor, die gerecht unter 4 Personen aufgeteilt werden. Schneide jede Pizza in Viertel, das ergibt 12 Viertel, und gib jeder Person 3 Viertel. Jede Person bekommt 3/4 einer Pizza, also gilt 3 ÷ 4 = 3/4 = 0.75. Deshalb macht ein Taschenrechner aus jedem Bruch eine Dezimalzahl: Er teilt den Zähler durch den Nenner.

Ein Bruchteil einer Gruppe

Brüche beschreiben auch Teile einer Menge. Angenommen, 2/5 der 20 Schülerinnen und Schüler einer Klasse gehen zu Fuß zur Schule. Teile die Klasse in 5 gleich große Gruppen zu je 4 Personen. Zwei dieser Gruppen gehen zu Fuß, also 8 Personen. Die Rechnung lautet 20 ÷ 5 = 4, dann 4 × 2 = 8. Teile durch den Nenner, um die Größe eines Teils zu finden, und multipliziere dann mit dem Zähler, um die gewünschten Teile zu zählen.

Beispiele mit Rechenweg

Beispiel 1. Eine Tafel Schokolade hat 12 Stücke, und du isst 5. Du hast 5/12 der Tafel gegessen, und 7/12 sind übrig, weil 12 − 5 = 7 Stücke bleiben. Beide Brüche zusammen ergeben 12/12, die ganze Tafel.

Beispiel 2. Wie viel sind 3/8 von 40 Minuten? Ein Achtel von 40 ist 40 ÷ 8 = 5 Minuten, also sind drei Achtel 3 × 5 = 15 Minuten.

Beispiel 3. Sieben Freunde teilen sich 2 Liter Wasser gerecht. Jeder bekommt 2 ÷ 7 = 2/7 Liter, etwas weniger als 0.29 Liter.