Brüche vergleichen und ordnen

Ist 5/8 mehr als 3/5? Über Kreuz multipliziert ergibt sich 25 gegen 24, also ja, und zwar um genau 1/40.

Warum man beim Vergleichen von Brüchen aufpassen muss

Bei ganzen Zahlen ist die Zahl, die größer aussieht, auch größer. Bei Brüchen klappt diese Abkürzung nicht. 1/8 hat einen größeren Nenner als 1/3 und ist trotzdem viel kleiner, weil das Ganze in mehr Stücke zerlegt wurde. Um Brüche sicher zu vergleichen, musst du beide Teile zusammen betrachten. Diese Einheit zeigt dir vier Methoden, von den schnellsten Sonderfällen bis zu einer, die immer funktioniert.

Gleicher Nenner oder gleicher Zähler

Sind die Nenner gleich, sind die Stücke gleich groß, und der Bruch mit mehr Stücken ist größer: 7/12 > 5/12. Sind die Zähler gleich, hast du gleich viele Stücke, und der Bruch mit den größeren Stücken ist größer. Größere Stücke entstehen bei einem kleineren Nenner: 4/7 > 4/9 und 3/4 > 3/5. Diesen zweiten Fall drehen viele um, deshalb lohnt es sich, ihn sich vorzustellen: 3 Stücke einer Pizza, die in 4 Teile geschnitten wurde, sind größer als 3 Stücke einer Pizza, die in 5 Teile geschnitten wurde.

Vergleichswerte

Manchmal entscheidet ein Orientierungspunkt die Frage sofort. Vergleiche 4/9 und 5/8. Die Hälfte von 9 ist 4.5, also ist 4/9 etwas kleiner als 1/2. Die Hälfte von 8 ist 4, also ist 5/8 größer als 1/2. Der eine Bruch liegt unter der Hälfte, der andere darüber, also gilt 5/8 > 4/9 ganz ohne Rechnung. Nahe bei 1 klappt dieselbe Idee: 7/8 fehlt 1/8 zur 1 und 9/10 fehlt 1/10. Da 1/10 die kleinere Lücke ist, ist 9/10 größer.

Ein gemeinsamer Nenner

Die allgemeine Methode: Bring beide Brüche auf denselben Nenner und vergleiche dann die Zähler. Für 2/3 und 3/4 passt der Nenner 12 zu beiden: 2/3 = 8/12 und 3/4 = 9/12, also ist 3/4 um 1/12 größer. Jedes gemeinsame Vielfache der beiden Nenner ist geeignet. Das kleinste hält die Zahlen klein, aber das Produkt der beiden Nenner funktioniert immer.

Über Kreuz multiplizieren

Über Kreuz multiplizieren ist die Methode mit dem gemeinsamen Nenner, bei der man den Nenner weglässt. Um a/b mit c/d zu vergleichen, vergleichst du a × d mit c × b. Für 5/8 und 3/5: 5 × 5 = 25 und 3 × 8 = 24. Es ist 25 > 24, 5/8 ist also größer als 3/5. Diese beiden Produkte sind die Zähler, die du mit dem gemeinsamen Nenner 8 × 5 = 40 bekämst, und daraus liest du auch den Unterschied ab: 25/40 − 24/40 = 1/40.

Kreuzprodukte helfen auch bei Brüchen, die fast gleich aussehen. Was ist größer, 99/100 oder 100/101? 99 × 101 = 9999 und 100 × 100 = 10 000, also ist 100/101 größer. Jedem der beiden Brüche fehlt ein Stück zur 1, und die Stücke eines Ganzen, das in 101 Teile geteilt ist, sind kleiner als die eines Ganzen, das in 100 Teile geteilt ist.

Dezimalzahlen

Du kannst auch jeden Zähler durch seinen Nenner teilen und die Dezimalzahlen vergleichen. 17/20 = 0.85 und 21/25 = 0.84, also sind 17 von 20 Punkten ein klein wenig besser als 21 von 25. Mit Taschenrechner ist das praktisch, aber bei periodischen Dezimalzahlen wie 1/3 = 0.333... brauchst du genug Stellen, um sicher zu sein.

Mehrere Brüche ordnen

Um eine Liste zu ordnen, schreibst du alle Brüche mit einem gemeinsamen Nenner. Ordne 1/2, 5/12, 2/3, 3/4 und 7/12. Alle Nenner sind Teiler von 12, also schreibst du 6/12, 5/12, 8/12, 9/12 und 7/12. Jetzt liest du die Zähler vom kleinsten zum größten ab: 5/12, 1/2, 7/12, 2/3, 3/4. Bei einer gemischten Liste hilft es auch, zuerst nach Vergleichswerten zu sortieren: alles unter 1/2, dann alles zwischen 1/2 und 1, dann alles über 1.

Beispiel. Ein Rezept verlangt 2/3 Tasse Milch, und du hast einen Messbecher mit Viertelmarkierungen. Reicht 3/4 Tasse? Multipliziere über Kreuz: 3 × 3 = 9 und 2 × 4 = 8, also gilt 3/4 > 2/3. An der 3/4-Markierung ist etwas mehr drin, als du brauchst, nämlich 1/12 Tasse.