분수의 크기 비교와 순서

5/8은 3/5보다 클까요? 엇갈려 곱하면 25 대 24이므로 크고, 차이는 정확히 1/40입니다.

분수 비교가 까다로운 이유

자연수는 커 보이는 수가 큰 수입니다. 분수에서는 이 요령이 통하지 않습니다. 1/8은 1/3보다 분모가 크지만 전체를 더 많은 조각으로 나눴기 때문에 훨씬 작습니다. 분수를 제대로 비교하려면 분자와 분모를 함께 봐야 합니다. 이 단원에서는 가장 빠른 특수한 경우부터 언제나 통하는 방법까지 네 가지를 다룹니다.

분모가 같거나 분자가 같을 때

분모가 같으면 조각 크기가 같으니 조각이 많은 쪽이 큽니다. 7/12 > 5/12. 분자가 같으면 조각 수가 같으니 조각이 큰 쪽이 크고, 조각이 크려면 분모가 작아야 합니다. 4/7 > 4/9, 3/4 > 3/5. 두 번째 경우를 거꾸로 생각하는 사람이 많으니 그림으로 떠올려 보세요. 4조각으로 자른 피자 3조각이 5조각으로 자른 피자 3조각보다 큽니다.

기준점과 비교하기

기준점 하나로 단번에 답이 나올 때가 있습니다. 4/9와 5/8을 비교해 봅시다. 9의 절반은 4.5이므로 4/9는 1/2보다 조금 작습니다. 8의 절반은 4이므로 5/8은 1/2보다 큽니다. 하나는 절반 아래, 하나는 절반 위이니 계산 없이 5/8 > 4/9입니다. 1 근처에서도 같습니다. 7/8은 1보다 1/8, 9/10은 1/10 모자라고, 1/10이 더 작은 차이이므로 9/10이 더 큽니다.

분모를 같게 만들기(통분)

일반적인 방법은 두 분수를 분모가 같도록 바꿔 쓴 뒤 분자를 비교하는 것입니다. 2/3과 3/4은 분모 12로 맞출 수 있습니다. 2/3 = 8/12, 3/4 = 9/12이므로 3/4이 1/12만큼 큽니다. 두 분모의 공배수라면 어느 것이든 됩니다. 가장 작은 공배수를 쓰면 수가 작아서 편하지만, 두 분모를 곱한 수는 언제나 쓸 수 있습니다.

엇갈려 곱하기

엇갈려 곱하기는 통분하는 방법에서 분모만 생략한 것입니다. a/b와 c/d를 비교하려면 a × d와 c × b를 비교합니다. 5/8과 3/5는 5 × 5 = 25, 3 × 8 = 24이고, 25 > 24이므로 5/8 > 3/5입니다. 두 곱은 분모를 8 × 5 = 40으로 맞췄을 때의 분자이므로 차이도 알 수 있습니다. 25/40 − 24/40 = 1/40.

거의 똑같아 보이는 분수도 엇갈려 곱하면 가릴 수 있습니다. 99/100과 100/101 중 무엇이 클까요? 99 × 101 = 9,999, 100 × 100 = 10,000이므로 100/101이 큽니다. 두 분수 모두 1보다 한 조각 모자란데, 101로 나눈 조각이 100으로 나눈 조각보다 작기 때문입니다.

소수로 바꾸기

분자를 분모로 나눠 소수로 비교해도 됩니다. 17/20 = 0.85, 21/25 = 0.84이므로 20문제 중 17개를 맞힌 점수가 25문제 중 21개보다 조금 높습니다. 계산기가 있으면 편하지만, 1/3 = 0.333...처럼 끝없이 이어지는 소수는 자릿수를 충분히 봐야 확실합니다.

여러 분수를 순서대로 놓기

여러 분수의 순서를 정하려면 모두 같은 분모로 바꿔 씁니다. 1/2, 5/12, 2/3, 3/4, 7/12를 놓아 봅시다. 분모가 모두 12의 약수이니 6/12, 5/12, 8/12, 9/12, 7/12로 씁니다. 이제 분자가 작은 것부터 읽으면 5/12, 1/2, 7/12, 2/3, 3/4입니다. 섞인 목록이라면 먼저 기준점으로 나누는 것도 좋습니다. 1/2보다 작은 것, 1/2과 1 사이, 1보다 큰 것으로 나눈 뒤 각 무리 안에서 비교합니다.

예시. 요리법에 우유 2/3컵이 필요한데 계량컵에는 4분의 1 눈금만 있습니다. 3/4컵이면 충분할까요? 엇갈려 곱하면 3 × 3 = 9, 2 × 4 = 8이므로 3/4 > 2/3이고, 3/4 눈금까지 부으면 필요한 양보다 1/12컵 많습니다.