Сравнение и упорядочивание дробей

5/8 больше, чем 3/5? Перекрёстное умножение даёт 25 против 24, значит, да, ровно на 1/40.

Почему сравнивать дроби нужно аккуратно

У целых чисел то, которое выглядит больше, и есть большее. С дробями этот короткий путь не работает. У 1/8 знаменатель больше, чем у 1/3, но сама дробь намного меньше, потому что целое разрезали на большее число кусочков. Чтобы надёжно сравнивать дроби, нужно смотреть на обе части вместе. В этом уроке четыре способа, от самых быстрых частных случаев до того, что работает всегда.

Одинаковые знаменатели или одинаковые числители

Когда знаменатели одинаковые, кусочки одного размера, поэтому больше та дробь, где кусочков больше: 7/12 > 5/12. Когда числители одинаковые, кусочков одинаковое количество, поэтому больше та дробь, где кусочки крупнее, а крупные кусочки получаются при меньшем знаменателе: 4/7 > 4/9 и 3/4 > 3/5. Во втором случае многие путаются, поэтому стоит представить картинку: 3 куска пиццы, разрезанной на 4, больше, чем 3 куска пиццы, разрезанной на 5.

Ориентиры

Иногда ориентир сразу решает вопрос. Сравни 4/9 и 5/8. Половина от 9 равна 4.5, поэтому 4/9 чуть меньше 1/2. Половина от 8 равна 4, поэтому 5/8 больше 1/2. Одна дробь ниже середины, другая выше, поэтому 5/8 > 4/9 без всяких вычислений. Та же мысль работает возле 1: 7/8 не хватает 1/8 до 1, а 9/10 не хватает 1/10, и раз 1/10 меньший промежуток, 9/10 больше.

Общий знаменатель

Общий способ: записать обе дроби с одинаковым знаменателем и сравнить числители. Для 2/3 и 3/4 подходит знаменатель 12: 2/3 = 8/12 и 3/4 = 9/12, поэтому 3/4 больше на 1/12. Подойдёт любое общее кратное двух знаменателей. Наименьшее сохраняет числа маленькими, но произведение двух знаменателей подходит всегда.

Перекрёстное умножение

Перекрёстное умножение является способом общего знаменателя, в котором сам знаменатель не пишут. Чтобы сравнить a/b и c/d, сравни a × d и c × b. Для 5/8 и 3/5: 5 × 5 = 25 и 3 × 8 = 24. Так как 25 > 24, 5/8 > 3/5. Эти два произведения и есть числители при общем знаменателе 8 × 5 = 40, и они же показывают разность: 25/40 − 24/40 = 1/40.

Перекрёстное умножение работает и для дробей, которые выглядят почти одинаково. Что больше, 99/100 или 100/101? 99 × 101 = 9999 и 100 × 100 = 10 000, поэтому 100/101 больше. Каждой дроби не хватает одного кусочка до 1, а кусочки при знаменателе 101 меньше, чем при 100.

Десятичные дроби

Можно также разделить каждый числитель на знаменатель и сравнить десятичные дроби. 17/20 = 0.85 и 21/25 = 0.84, поэтому результат 17 из 20 чуть лучше, чем 21 из 25. С калькулятором это удобно, но для периодических дробей вроде 1/3 = 0.333... нужно достаточно цифр, чтобы быть уверенным.

Как упорядочить несколько дробей

Чтобы упорядочить список, запиши все дроби с одним общим знаменателем. Упорядочим 1/2, 5/12, 2/3, 3/4 и 7/12. Все знаменатели делят 12, поэтому запишем их как 6/12, 5/12, 8/12, 9/12 и 7/12. Теперь прочитаем числители от меньшего к большему: 5/12, 1/2, 7/12, 2/3, 3/4. В смешанном списке помогает сначала разложить дроби по ориентирам: всё, что меньше 1/2, затем всё между 1/2 и 1, затем всё, что больше 1.

Пример. В рецепте нужно 2/3 чашки молока, а у тебя мерный стакан с делениями по четвертям. Хватит ли 3/4 чашки? Умножим крест-накрест: 3 × 3 = 9 и 2 × 4 = 8, поэтому 3/4 > 2/3, и до отметки 3/4 помещается чуть больше, чем нужно, на 1/12 чашки.