Умножение дробей

Половина от трёх четвертей равна трём восьмым: 1/2 × 3/4 = 3/8, и модель площади показывает все 8 кусочков.

Целое число, умноженное на дробь

Начни с того, что уже значит умножение: многократное сложение. 3 × 2/5 означает три раза по 2/5, то есть 2/5 + 2/5 + 2/5 = 6/5. Изменился только числитель, потому что ты считаешь больше пятых. Поэтому при умножении целого числа на дробь умножается числитель: 3 × 2/5 = (3 × 2)/5 = 6/5.

Умножить целое число на дробь значит также найти дробь от этого числа, как в уроке 1. 5/6 × 12 спрашивает, сколько составляют 5/6 от 12: 12 ÷ 6 = 2, и 2 × 5 = 10. В текстовых задачах слово «от» почти всегда означает умножение.

Дробь от дроби

Сколько составляет половина от 3/4? Нарисуй квадрат и раздели его на 4 столбца. Закрась 3 из них, это 3/4. Теперь раздели квадрат на 2 строки и возьми верхнюю, половину от всего. Часть, закрашенная в обоих направлениях, занимает 3 маленькие клетки, а во всём квадрате теперь 4 × 2 = 8 клеток. Значит, половина от 3/4 равна 3/8.

Картинка объясняет правило. Знаменатели перемножаются, потому что разрезание на 4 столбца и затем на 2 строки даёт 4 × 2 маленьких клеток. Числители перемножаются, потому что пересечение шириной 3 столбца и высотой 1 строку, это 3 × 1 клеток. Поэтому a/b × c/d = (a × c)/(b × d): перемножь числители, перемножь знаменатели. Общий знаменатель не нужен.

Сокращай до умножения

Произведения быстро становятся большими. 4/9 × 3/8 = 12/72, а потом это сокращается до 1/6. Проще сначала сократить общие множители. Любой числитель можно сокращать с любым знаменателем, даже крест-накрест между двумя дробями, потому что все четыре числа в итоге оказываются в одной большой дроби (4 × 3)/(9 × 8). У 4 и 8 общий множитель 4, остаются 1 и 2. У 3 и 9 общий множитель 3, остаются 1 и 3. Остаётся 1/3 × 1/2 = 1/6.

Почему ответ может быть меньше

С целыми числами умножение увеличивает. С дробями меньше 1 оно уменьшает, и многих это удивляет. 7/8 × 5 меньше 5, потому что ты берёшь 7/8 от 5, а не всё число. Умножение на число меньше 1 уменьшает, умножение на 1 ничего не меняет, а умножение на число больше 1 увеличивает.

Дробь от дроби в обычных задачах

Умножение дробей отвечает на вопросы о части от части. Допустим, 2/3 учеников школы занимаются музыкой, а 1/4 из них играет на барабанах. Барабанщики составляют 1/4 от 2/3 школы: 1/4 × 2/3 = 2/12 = 1/6 всех учеников. Порядок не важен, ведь 2/3 × 1/4 даёт те же 1/6.

Возвести дробь в квадрат значит умножить её саму на себя. Квадратная плитка со стороной 2/3 м имеет площадь 2/3 × 2/3 = 4/9 квадратного метра. Площадь, 4/9, меньше длины стороны, 2/3, что невозможно для целых чисел больше 1.

Смешанные числа: сначала перевести

Перед умножением смешанные числа нужно превратить в неправильные дроби. 1 1/2 × 2 2/3 = 3/2 × 8/3. Сократи оба числа 3, а 2 с 8: 1/1 × 4/1 = 4. Частая ошибка: перемножить отдельно целые и дроби, 1 × 2 плюс 1/2 × 2/3, и получить 2 1/3. При этом теряются перекрёстные слагаемые 1 × 2/3 и 1/2 × 2, точно так же, как 12 × 13 не равно 1 × 1 плюс 2 × 3.

Разобранные примеры

Пример 1. В рецепте нужно 2/3 чашки сахара, а ты готовишь 3/4 рецепта. 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2 чашки.

Пример 2. Прямоугольник из картона длиной 3/4 м и шириной 2/5 м. Его площадь 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10 квадратного метра.

Пример 3. 2 1/4 × 4/3 = 9/4 × 4/3. Сократи оба числа 4 и сократи 9 с 3: 3/1 × 1/1 = 3.