분수의 곱셈

4분의 3의 절반은 8분의 3입니다. 1/2 × 3/4 = 3/8이고, 넓이 그림에 8조각이 모두 보입니다.

자연수 × 분수

곱셈의 원래 뜻, 같은 수를 여러 번 더하기에서 시작합니다. 3 × 2/5는 2/5를 세 번 더한 것이므로 2/5 + 2/5 + 2/5 = 6/5입니다. 5분의 1 조각을 더 많이 세는 것이라 분자만 바뀌었습니다. 그래서 자연수 × 분수는 분자에 곱합니다. 3 × 2/5 = (3 × 2)/5 = 6/5.

자연수에 분수를 곱하는 것은 1단원에서 본 「어떤 수의 몇 분의 몇」과 같습니다. 5/6 × 12는 12의 5/6이므로 12 ÷ 6 = 2, 2 × 5 = 10입니다. 문장제에서 「~의 몇 분의 몇」은 거의 언제나 곱하기입니다.

분수의 분수

3/4의 절반은 얼마일까요? 정사각형을 세로로 4칸 나누고 3칸을 칠해 3/4을 만듭니다. 이번에는 가로로 2칸 나누고 위 칸, 다시 말해 절반을 고릅니다. 두 번 모두 칠해진 부분은 작은 칸 3개이고, 정사각형 전체는 4 × 2 = 8칸입니다. 그래서 3/4의 절반은 3/8입니다.

그림이 규칙을 설명합니다. 세로로 4칸, 가로로 2칸 자르면 작은 칸이 4 × 2개 생기므로 분모끼리 곱합니다. 겹친 부분은 가로 3칸, 세로 1칸이라 3 × 1칸이므로 분자끼리 곱합니다. 그래서 a/b × c/d = (a × c)/(b × d), 분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱합니다. 공통분모는 필요 없습니다.

곱하기 전에 약분하기

곱은 금방 커집니다. 4/9 × 3/8 = 12/72이고 약분하면 1/6입니다. 먼저 공약수를 지우는 편이 쉽습니다. 네 수가 결국 (4 × 3)/(9 × 8)이라는 분수 하나에 들어가므로, 어느 분자든 어느 분모와도 약분할 수 있고 두 분수를 엇갈려도 됩니다. 4와 8은 4로 나누면 1과 2, 3과 9는 3으로 나누면 1과 3이 남습니다. 남은 1/3 × 1/2 = 1/6입니다.

곱했는데 작아지는 이유

자연수는 곱하면 커집니다. 1보다 작은 분수를 곱하면 오히려 작아져서 많은 사람이 놀랍니다. 7/8 × 5는 5보다 작습니다. 5 전부가 아니라 5의 7/8을 가지는 것이기 때문입니다. 1보다 작은 수를 곱하면 작아지고, 1을 곱하면 그대로이고, 1보다 큰 수를 곱하면 커집니다.

생활 속 분수의 분수

분수의 곱셈은 「일부의 일부」를 묻는 문제에 답합니다. 한 학교 학생의 2/3이 음악 수업을 듣고, 그중 1/4이 드럼을 친다고 해 봅시다. 드럼을 치는 학생은 전체의 2/3의 1/4이므로 1/4 × 2/3 = 2/12 = 1/6입니다. 곱하는 순서를 바꿔 2/3 × 1/4로 해도 1/6로 같습니다.

분수를 제곱하는 것은 자기 자신을 곱하는 것입니다. 한 변이 2/3 m인 정사각형 타일의 넓이는 2/3 × 2/3 = 4/9 제곱미터입니다. 넓이 4/9가 변의 길이 2/3보다 작은데, 1보다 큰 자연수에서는 일어날 수 없는 일입니다.

대분수는 먼저 가분수로

대분수는 곱하기 전에 반드시 가분수로 바꿉니다. 1 1/2 × 2 2/3 = 3/2 × 8/3입니다. 3끼리, 2와 8을 약분하면 1/1 × 4/1 = 4입니다. 자연수끼리, 분수끼리 따로 곱해 1 × 2에 1/2 × 2/3을 더하면 2 1/3이 나오는데, 이것은 틀린 방법입니다. 1 × 2/3과 1/2 × 2라는 엇갈린 부분이 빠졌기 때문이고, 12 × 13이 1 × 1과 2 × 3을 합한 값이 아닌 것과 같은 이유입니다.

풀이 예시

예시 1. 설탕 2/3컵이 들어가는 요리를 3/4만큼만 만듭니다. 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2컵입니다.

예시 2. 가로 3/4 m, 세로 2/5 m인 직사각형 판지의 넓이는 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10 제곱미터입니다.

예시 3. 2 1/4 × 4/3 = 9/4 × 4/3. 4끼리 지우고 9와 3을 약분하면 3/1 × 1/1 = 3입니다.