Multiplicar fracciones

La mitad de tres cuartos son tres octavos: 1/2 × 3/4 = 3/8, y el modelo de área muestra las 8 piezas.

Un número entero por una fracción

Empieza por lo que ya significa multiplicar: sumar repetidamente. 3 × 2/5 son tres veces 2/5, es decir, 2/5 + 2/5 + 2/5 = 6/5. Solo cambió el numerador, porque estás contando más quintos. Así que un número entero por una fracción multiplica el numerador: 3 × 2/5 = (3 × 2)/5 = 6/5.

Multiplicar un número entero por una fracción también es lo mismo que tomar una fracción de él, algo que viste en la unidad 1. 5/6 × 12 pide 5/6 de 12: 12 ÷ 6 = 2, y 2 × 5 = 10. En los problemas, la palabra de casi siempre significa multiplicar.

Una fracción de una fracción

¿Cuánto es la mitad de 3/4? Dibuja un cuadrado y divídelo en 4 columnas. Sombrea 3 para representar 3/4. Ahora divide el cuadrado en 2 filas y toma la fila de arriba, la mitad de todo. La parte sombreada en los dos sentidos ocupa 3 casillas pequeñas, y el cuadrado entero tiene ahora 4 × 2 = 8 casillas. Así que la mitad de 3/4 son 3/8.

El dibujo explica la regla. Los denominadores se multiplican porque cortar en 4 columnas y luego en 2 filas da 4 × 2 casillas pequeñas. Los numeradores se multiplican porque la zona común tiene 3 columnas de ancho y 1 fila de alto, 3 × 1 casillas. Así que a/b × c/d = (a × c)/(b × d): multiplica los numeradores y multiplica los denominadores. No hace falta un denominador común.

Simplifica antes de multiplicar

Los productos crecen rápido. 4/9 × 3/8 = 12/72, que luego se simplifica a 1/6. Es más fácil tachar primero los divisores comunes. Cualquier numerador se puede simplificar con cualquier denominador, aunque estén en fracciones distintas, porque los cuatro números acaban en una sola fracción grande (4 × 3)/(9 × 8). El 4 y el 8 comparten el 4, y quedan 1 y 2. El 3 y el 9 comparten el 3, y quedan 1 y 3. Lo que queda es 1/3 × 1/2 = 1/6.

Por qué el resultado puede ser menor

Con los números enteros, multiplicar hace las cosas más grandes. Con fracciones menores que 1 las hace más pequeñas, y eso sorprende a mucha gente. 7/8 × 5 es menos que 5, porque estás tomando 7/8 de 5, no todo. Multiplicar por un número menor que 1 reduce, multiplicar por 1 no cambia nada y multiplicar por un número mayor que 1 agranda.

Una fracción de una fracción en problemas cotidianos

Multiplicar fracciones responde a preguntas sobre una parte de una parte. Supón que 2/3 de los estudiantes de una escuela estudian música, y que 1/4 de ellos tocan la batería. Los bateristas son 1/4 de 2/3 de la escuela: 1/4 × 2/3 = 2/12 = 1/6 de todos los estudiantes. El orden no importa, porque 2/3 × 1/4 da el mismo 1/6.

Elevar una fracción al cuadrado es multiplicarla por sí misma. Una baldosa cuadrada de 2/3 m de lado tiene un área de 2/3 × 2/3 = 4/9 metros cuadrados. El área, 4/9, es menor que la longitud del lado, 2/3, algo imposible con números enteros mayores que 1.

Números mixtos: convierte primero

Los números mixtos hay que convertirlos en fracciones impropias antes de multiplicar. 1 1/2 × 2 2/3 = 3/2 × 8/3. Simplifica los 3 y el 2 con el 8: 1/1 × 4/1 = 4. Un error común es multiplicar por separado los enteros y las fracciones, 1 × 2 más 1/2 × 2/3, lo que da 2 1/3. Así se pierden los términos cruzados, 1 × 2/3 y 1/2 × 2, igual que 12 × 13 no es 1 × 1 más 2 × 3.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una receta necesita 2/3 de taza de azúcar y vas a hacer 3/4 de la receta. 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2 taza.

Ejemplo 2. Un rectángulo de cartulina mide 3/4 m de largo y 2/5 m de ancho. Su área es 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10 metros cuadrados.

Ejemplo 3. 2 1/4 × 4/3 = 9/4 × 4/3. Simplifica los 4 y reduce el 9 con el 3: 3/1 × 1/1 = 3.