Fracciones equivalentes

1/2, 2/4, 3/6 y 50/100 son cuatro nombres del mismo punto de la recta numérica.

La misma cantidad, cortes distintos

Toma una hoja de papel, dóblala por la mitad y sombrea una mitad. Ahora dóblala otra vez por la mitad en el otro sentido. La parte sombreada no ha cambiado, pero el papel queda dividido en 4 partes iguales y la zona sombreada ocupa 2 de ellas. La misma cantidad que era 1/2 ahora es 2/4. Dóblala una vez más y pasa a ser 4/8. Las fracciones que nombran la misma cantidad se llaman fracciones equivalentes.

Cada doblez duplicó el número de partes y también el número de partes sombreadas. Esa es la regla en una frase: multiplica el numerador y el denominador por el mismo número y el valor de la fracción no cambia. 1/2 se convierte en 3/6 si multiplicas los dos números por 3, y en 50/100 si los multiplicas por 50.

Por qué funciona la regla

Multiplicar el denominador por 3 corta cada pieza en 3 piezas más pequeñas. Ahora tienes 3 veces más piezas y cada una mide un tercio de lo que medía. Multiplicar el numerador por 3 cuenta 3 veces más piezas de ese tamaño menor. Los dos efectos se compensan exactamente, así que la cantidad total no cambia.

Otra forma de decirlo usa el número 1. Cualquier fracción con el mismo numerador y denominador, como 3/3 o 50/50, vale 1. Multiplicar un número por 1 nunca lo cambia. Así que 1/2 × 3/3 = 3/6 es lo mismo que 1/2 × 1, que sigue siendo 1/2. Hallar una fracción equivalente es multiplicar por una forma bien elegida del 1.

La regla también funciona al revés. Dividir el numerador y el denominador entre el mismo número también da una fracción equivalente, siempre que las dos divisiones sean exactas. 6/9 dividido arriba y abajo entre 3 es 2/3. Este sentido se llama simplificar, y es el tema de la unidad siguiente.

Lo que no funciona

Sumar el mismo número arriba y abajo no da una fracción equivalente. Sumar 1 a las dos partes de 1/2 da 2/3, y 2/3 es mayor que 1/2. Restar tampoco funciona: 3/4 restando 1 a las dos partes da 2/3, que es menor. Solo multiplicar y dividir mantienen el valor, porque solo ellas cambian a la vez, y en equilibrio, el número de piezas y el tamaño de cada pieza.

Hallar un número que falta

Muchos problemas piden completar una fracción equivalente, como 3/5 = ?/20. Pregúntate por cuánto se multiplicó la parte conocida. El denominador pasó de 5 a 20, que es × 4, así que el numerador también se multiplica por 4: 3 × 4 = 12, y 3/5 = 12/20. En 2/3 = 10/?, el numerador pasó de 2 a 10, que es × 5, así que el denominador es 3 × 5 = 15.

Comprobar dos fracciones con productos cruzados

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes sin dibujar nada, multiplica cada numerador por el denominador de la otra fracción. Para 6/8 y 9/12: 6 × 12 = 72 y 9 × 8 = 72. Los dos productos cruzados son iguales, así que las fracciones son equivalentes. Para 3/7 y 9/20: 3 × 20 = 60 y 9 × 7 = 63, que son distintos, así que las fracciones no son iguales. La prueba funciona porque los productos cruzados son los numeradores que obtendrías al reescribir las dos fracciones con el denominador común 8 × 12 o 7 × 20.

Dónde se usan las fracciones equivalentes

Las fracciones equivalentes son las que hacen posible el resto de este curso. Comparar 2/3 con 3/4, sumar 1/2 y 1/3 o convertir 3/4 en porcentaje empiezan por reescribir las fracciones para que tengan el mismo denominador. 3/4 = 75/100 es la razón por la que tres cuartos son el 75%. Cada receta que pasa de tazas a medias tazas y cada regla marcada en dieciseisavos de pulgada se basa en la misma regla.

Ejemplo. Escribe tres fracciones equivalentes a 2/5. Multiplica las dos partes por 2, 3 y 10: 4/10, 6/15 y 20/50. Comprueba una con productos cruzados: 2 × 15 = 30 y 6 × 5 = 30.