Frações equivalentes

1/2, 2/4, 3/6 e 50/100 são quatro nomes para o mesmo ponto da reta numérica.

Mesma quantidade, cortes diferentes

Pegue uma folha de papel, dobre ao meio e pinte uma metade. Agora dobre de novo ao meio no outro sentido. A parte pintada não mudou, mas a folha agora está dividida em 4 partes iguais e a região pintada ocupa 2 delas. A mesma quantidade que era 1/2 agora é 2/4. Dobre mais uma vez e ela vira 4/8. Frações que representam a mesma quantidade se chamam frações equivalentes.

Cada dobra dobrou o número de partes e também o número de partes pintadas. Essa é a regra numa frase: multiplique o numerador e o denominador pelo mesmo número, e o valor da fração não muda. 1/2 vira 3/6 quando os dois números são multiplicados por 3, e 50/100 quando são multiplicados por 50.

Por que a regra funciona

Multiplicar o denominador por 3 corta cada pedaço em 3 pedaços menores. Você passa a ter 3 vezes mais pedaços, e cada um tem um terço do tamanho anterior. Multiplicar o numerador por 3 conta 3 vezes mais desses pedaços menores. Os dois efeitos se anulam exatamente, então a quantidade total continua a mesma.

Outra forma de dizer isso usa o número 1. Qualquer fração com numerador e denominador iguais, como 3/3 ou 50/50, vale 1. Multiplicar um número por 1 nunca o altera. Então 1/2 × 3/3 = 3/6 é o mesmo que 1/2 × 1, que continua sendo 1/2. Achar uma fração equivalente é multiplicar por uma forma bem escolhida do 1.

A regra também vale ao contrário. Dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número também dá uma fração equivalente, desde que as duas divisões sejam exatas. 6/9 dividido em cima e embaixo por 3 é 2/3. Esse sentido se chama simplificar, e é o assunto da próxima unidade.

O que não funciona

Somar o mesmo número em cima e embaixo não dá uma fração equivalente. Somar 1 às duas partes de 1/2 dá 2/3, e 2/3 é maior que 1/2. Subtrair também não funciona: 3/4 menos 1 nas duas partes dá 2/3, que é menor. Só multiplicar e dividir mantêm o valor, porque só essas operações mudam o número de pedaços e o tamanho de cada pedaço de forma equilibrada.

Achando o número que falta

Muitos problemas pedem para completar uma fração equivalente, como 3/5 = ?/20. Pergunte por quanto a parte conhecida foi multiplicada. O denominador foi de 5 para 20, ou seja, × 4, então o numerador também precisa ser multiplicado por 4: 3 × 4 = 12, e 3/5 = 12/20. Em 2/3 = 10/?, o numerador foi de 2 para 10, ou seja, × 5, então o denominador é 3 × 5 = 15.

Testando duas frações com produtos cruzados

Para verificar se duas frações são equivalentes sem desenhar nada, multiplique cada numerador pelo denominador da outra fração. Para 6/8 e 9/12: 6 × 12 = 72 e 9 × 8 = 72. Os dois produtos cruzados são iguais, então as frações são equivalentes. Para 3/7 e 9/20: 3 × 20 = 60 e 9 × 7 = 63, que são diferentes, então as frações não são iguais. O teste funciona porque os produtos cruzados são os numeradores que você teria ao reescrever as duas frações com o denominador comum 8 × 12 ou 7 × 20.

Onde as frações equivalentes são usadas

São as frações equivalentes que tornam possível o resto deste curso. Comparar 2/3 com 3/4, somar 1/2 com 1/3 e transformar 3/4 em porcentagem começam todos reescrevendo as frações para que tenham o mesmo denominador. 3/4 = 75/100 é o motivo de três quartos ser 75%. Toda receita que troca xícaras por meias xícaras e toda régua marcada em dezesseis avos de polegada dependem da mesma regra.

Exemplo. Escreva três frações equivalentes a 2/5. Multiplique as duas partes por 2, 3 e 10: 4/10, 6/15 e 20/50. Confira uma com produtos cruzados: 2 × 15 = 30 e 6 × 5 = 30.