Frazioni equivalenti

1/2, 2/4, 3/6 e 50/100 sono quattro nomi per lo stesso punto della retta dei numeri.

Stessa quantità, tagli diversi

Prendi un foglio, piegalo a metà e colora una metà. Ora piegalo di nuovo a metà nell'altro verso. La parte colorata non è cambiata, ma ora il foglio è diviso in 4 parti uguali e la zona colorata ne copre 2. La stessa quantità che era 1/2 ora è 2/4. Piegalo ancora una volta e diventa 4/8. Le frazioni che indicano la stessa quantità si chiamano frazioni equivalenti.

Ogni piega ha raddoppiato il numero delle parti e anche il numero delle parti colorate. Ecco la regola in una frase: moltiplica il numeratore e il denominatore per lo stesso numero, e il valore della frazione non cambia. 1/2 diventa 3/6 quando entrambi i numeri sono moltiplicati per 3, e 50/100 quando sono moltiplicati per 50.

Perché la regola funziona

Moltiplicare il denominatore per 3 taglia ogni pezzo in 3 pezzi più piccoli. Ora hai 3 volte più pezzi, e ognuno è un terzo di com'era prima. Moltiplicare il numeratore per 3 conta 3 volte più pezzi piccoli. I due effetti si compensano esattamente, quindi la quantità totale resta la stessa.

Un altro modo di dirlo usa il numero 1. Ogni frazione con numeratore e denominatore uguali, come 3/3 o 50/50, vale 1. Moltiplicare un numero per 1 non lo cambia mai. Quindi 1/2 × 3/3 = 3/6 è come 1/2 × 1, che è ancora 1/2. Trovare una frazione equivalente significa moltiplicare per una forma di 1 scelta bene.

La regola funziona anche al contrario. Anche dividere il numeratore e il denominatore per lo stesso numero dà una frazione equivalente, purché entrambi siano divisibili esattamente. 6/9 diviso sopra e sotto per 3 è 2/3. Questa direzione si chiama semplificare, ed è l'argomento della prossima unità.

Che cosa non funziona

Sommare lo stesso numero sopra e sotto non dà una frazione equivalente. Aggiungere 1 a entrambe le parti di 1/2 dà 2/3, e 2/3 è più grande di 1/2. Neanche sottrarre funziona: 3/4 meno 1 su entrambe le parti è 2/3, che è più piccolo. Solo moltiplicare e dividere mantengono il valore, perché solo loro cambiano in equilibrio il numero dei pezzi e la grandezza di ciascuno.

Trovare un numero mancante

Molti problemi chiedono di completare una frazione equivalente, come 3/5 = ?/20. Chiediti per quanto è stata moltiplicata la parte nota. Il denominatore è passato da 5 a 20, cioè × 4, quindi anche il numeratore va moltiplicato per 4: 3 × 4 = 12, e 3/5 = 12/20. Per 2/3 = 10/?, il numeratore è passato da 2 a 10, cioè × 5, quindi il denominatore è 3 × 5 = 15.

Confrontare due frazioni con i prodotti in croce

Per controllare se due frazioni sono equivalenti senza disegnare niente, moltiplica ogni numeratore per il denominatore dell'altra frazione. Per 6/8 e 9/12: 6 × 12 = 72 e 9 × 8 = 72. I due prodotti in croce sono uguali, quindi le frazioni sono equivalenti. Per 3/7 e 9/20: 3 × 20 = 60 e 9 × 7 = 63, che sono diversi, quindi le frazioni non sono uguali. Il test funziona perché i prodotti in croce sono i numeratori che otterresti riscrivendo entrambe le frazioni con il denominatore comune 8 × 12 o 7 × 20.

Dove si usano le frazioni equivalenti

Le frazioni equivalenti rendono possibile tutto il resto di questo corso. Confrontare 2/3 con 3/4, sommare 1/2 e 1/3, trasformare 3/4 in percentuale: tutto comincia riscrivendo le frazioni in modo che abbiano lo stesso denominatore. 3/4 = 75/100 è il motivo per cui tre quarti sono il 75%. Ogni ricetta che converte tazze in mezze tazze e ogni righello diviso in sedicesimi di pollice si basa sulla stessa regola.

Esempio. Scrivi tre frazioni equivalenti a 2/5. Moltiplica entrambe le parti per 2, 3 e 10: 4/10, 6/15 e 20/50. Controllane una con i prodotti in croce: 2 × 15 = 30 e 6 × 5 = 30.