大きさの等しい分数

1/2、2/4、3/6、50/100は、数直線上の同じ点の四つの名前です。

同じ量、違う切り方

紙を一枚用意して半分に折り、片方に色をぬります。次に、別の向きにもう一度半分に折りましょう。色をぬった部分は変わっていませんが、紙は4つの等しい部分に分かれ、色のついた部分はそのうち2つ分になっています。1/2だった量が、今度は2/4になったのです。もう一度折ると4/8になります。同じ量を表す分数を、大きさの等しい分数といいます。

折るたびに部分の数が二倍になり、色のついた部分の数も二倍になりました。これが一文で言えるきまりです：分子と分母に同じ数をかけても、分数の大きさは変わりません。両方に3をかければ1/2は3/6に、50をかければ50/100になります。

このきまりが成り立つわけ

分母に3をかけると、どの部分も3つの小さな部分に切られます。部分の数は3倍になり、一つひとつの大きさは前の三分の一になります。分子に3をかけると、その小さな部分を3倍の数だけ数えることになります。二つの効果がちょうど打ち消し合うので、全体の量は変わりません。

1という数を使って説明することもできます。3/3や50/50のように分子と分母が同じ分数は、どれも1に等しくなります。ある数に1をかけても、その数は変わりません。ですから1/2 × 3/3 = 3/6は1/2 × 1と同じで、やはり1/2です。大きさの等しい分数を見つけるとは、うまく選んだ形の1をかけることなのです。

このきまりは逆向きにも使えます。分子と分母を同じ数でわっても、どちらもわり切れるなら大きさの等しい分数になります。6/9の分子と分母を3でわると2/3です。この向きの計算を約分といい、次の単元で学びます。

うまくいかないこと

分子と分母に同じ数をたしても、大きさの等しい分数にはなりません。1/2の分子と分母に1をたすと2/3になり、2/3は1/2より大きくなります。ひいてもだめです。3/4の分子と分母から1をひくと2/3で、これは小さくなります。大きさを変えないのはかけ算とわり算だけです。部分の数と一つひとつの大きさを、つり合いを保って変えるのはこの二つだけだからです。

わからない数を求める

3/5 = ?/20のように、大きさの等しい分数を完成させる問題がよく出ます。わかっている部分に何をかけたのかを考えましょう。分母は5から20になったので × 4です。分子にも4をかけて3 × 4 = 12、3/5 = 12/20となります。2/3 = 10/?なら、分子が2から10になったので × 5で、分母は3 × 5 = 15です。

たすきがけで二つの分数を調べる

図をかかずに二つの分数の大きさが等しいかを調べるには、それぞれの分子に相手の分母をかけます（たすきがけ）。6/8と9/12なら、6 × 12 = 72、9 × 8 = 72です。二つの積が等しいので、この分数は等しくなります。3/7と9/20なら、3 × 20 = 60、9 × 7 = 63で違うので、等しくありません。この方法が使えるのは、二つの積が、両方の分数を共通の分母8 × 12や7 × 20に書きかえたときの分子になっているからです。

大きさの等しい分数が使われるところ

このコースのこれから先の内容は、大きさの等しい分数があってこそ成り立ちます。2/3と3/4を比べるのも、1/2に1/3をたすのも、3/4を百分率に直すのも、まず分母がそろうように分数を書きかえるところから始まります。3/4 = 75/100だからこそ、四分の三は75%なのです。カップを半カップに換算するレシピも、十六分の一インチの目盛りのものさしも、すべて同じきまりにたよっています。

例題。2/5と大きさの等しい分数を三つ書きましょう。分子と分母に2、3、10をかけると、4/10、6/15、20/50です。たすきがけで一つ確かめると、2 × 15 = 30、6 × 5 = 30です。