数直線上の分数

3/4は0から1までの道のりの四分の三の位置にあり、7/4は1からさらに同じだけ進んだ位置にあります。

どの分数にも数直線上に場所がある

分数はピザの一切れだけではありません。分数は数であり、どの数とも同じように、数直線上にただ一つのきまった位置があります。分数を数直線上に置くと、分数どうしや整数と比べてどれくらいの大きさかが最もはっきりわかります。これはあとで小数や負の数、ものさしの目盛りを読むときにも使う図です。

3/4を置くには、0から1までを4つの等しい区間に分けます。一区間の長さは1/4です。0から三区間進むと3/4に着きます。分母は単位をどれだけ細かく分けるかを決め、分子は0から何区間進むかを決めます。

1をこえても同じ手順が使えます。上の数直線では、全体一つ分ごとに四分の一の区間が四つあるので、1は4/4、2は8/4の位置です。7/4を置くには四分の一の区間を七つ進みます。四つで1に着き、さらに三つ進むと7/4です。この点は1と2の間で、2に近いところにあります。

目盛りではなく、間の数を数える

数直線にすでに目盛りがあるときは、まず一区間がいくつにあたるかを考えます。0から1までの目盛りではなく、間の数を数えましょう。0から1までの間が6つある数直線は六分の一ずつの目盛りです。0と1の目盛りも入れると7本の目盛りが見えますが、そうなのです。間ではなく目盛りを数えるのは数直線で最も多い間違いで、答えが一区間分ずれてしまいます。

例1。0から1までの数直線が5つの等しい間に分けられていて、0から三つ目の目盛りに点があります。一つの間は1/5なので、点は3/5です。

例2。0から2までの数直線が全部で8つの等しい間に分けられています。全体一つ分ごとに間が4つあるので、一つの間は1/8ではなく1/4です。0から六つ目の間の点は6/4で、これは1と二分の一と同じです。

例3。2/3は1/2と比べてどこにありますか？ 全体一つ分を六等分します。1/2は3/6、2/3は4/6なので、2/3は1/2より六分の一だけ右にあります。

二つの分数の間の距離

数直線を見ると、二つの分数がどれだけ離れているかもわかります。1/4から3/4までは四分の一の区間が二つなので、距離は2/4、つまり1/2です。分母が同じ二つの分数の距離は、その大きさの区間で数えた分子の差です。分母が違うときは、まず共通の区間の大きさが必要で、それを扱うのが単元3と単元7です。

二つの分数の間には、必ず別の分数がある

異なる二つの分数の間には、必ず別の分数があります。1/2と1の間には3/4があります。1/2と3/4の間には、そのちょうど真ん中の5/8があります。1/2と5/8の間には9/16があり、好きなだけ半分にし続けられます。整数どうしの間にはすき間がありますが、分数は数直線をすき間なくうめつくすので、となり合う二つの分数というものはありません。

二つの分数の間にある分数を手早く見つけるには、分子どうし、分母どうしをたします。1/3と1/2ならこれは2/5で、実際に1/3は約0.333、2/5は0.4、1/2は0.5です。この数は中間数（メディアント）と呼ばれ、分母が正のとき、いつも二つの分数のちょうど間に入ります。これは間の値を見つける方法にすぎません。単元7で説明するように、この方法で分数をたすと、間違った和になります。

目じるし：0、1/2、1

目じるしとして使える点が三つあります。分子が分母の半分より小さい分数は1/2より小さく、3/8は3が4より小さいので1/2より小さくなります。分子が分母に近い分数は1に近く、11/12は1より1/12小さいだけです。分子が分母に比べて小さい分数は0に近く、1/20は0からほんの少しのところです。