Le frazioni sulla retta dei numeri

3/4 si trova a tre quarti della strada da 0 a 1, e 7/4 alla stessa distanza oltre 1.

Ogni frazione ha un posto sulla retta

Una frazione è più di una fetta di pizza. È un numero e, come ogni numero, ha una posizione esatta sulla retta dei numeri. Mettere le frazioni su una retta è il modo più chiaro per vedere quanto sono grandi rispetto alle altre e rispetto ai numeri interi, ed è la stessa immagine che userai più avanti per i decimali, i numeri negativi e le misure sul righello.

Per collocare 3/4, parti dal tratto da 0 a 1 e dividilo in 4 passi uguali. Ogni passo è lungo 1/4. Conta tre passi da 0 e arrivi a 3/4. Il denominatore decide quanto finemente è diviso ogni intero, e il numeratore decide quanti passi fai partendo da 0.

Lo stesso procedimento funziona oltre 1. Sulla retta qui sopra ogni intero contiene quattro passi da un quarto, quindi 1 si trova a 4/4 e 2 a 8/4. Per collocare 7/4, fai sette passi da un quarto: quattro ti portano a 1 e altri tre a 7/4. Il punto sta tra 1 e 2, più vicino a 2.

Conta gli spazi, non le tacche

Quando una retta dei numeri ha già delle tacche, per prima cosa capisci quanto vale ogni passo. Conta gli spazi tra 0 e 1, non le tacche. Una retta con 6 spazi tra 0 e 1 è divisa in sesti, anche se vedi 7 tacche contando quelle su 0 e su 1. Contare le tacche invece degli spazi è l'errore più comune con la retta dei numeri, e dà risposte sbagliate di una parte.

Esempio 1. Una retta da 0 a 1 ha 5 spazi uguali e un punto sulla terza tacca dopo lo 0. Ogni spazio è 1/5, quindi il punto è a 3/5.

Esempio 2. Una retta da 0 a 2 ha in tutto 8 spazi uguali. Ogni intero contiene 4 spazi, quindi ogni spazio è 1/4, non 1/8. Un punto a sei spazi da 0 si trova a 6/4, cioè 1 e mezzo.

Esempio 3. Dove si trova 2/3 rispetto a 1/2? Dividi l'intero in sesti. 1/2 è 3/6 e 2/3 è 4/6, quindi 2/3 è un sesto a destra di 1/2.

La distanza tra due frazioni

La retta dei numeri mostra anche quanto distano due frazioni. Da 1/4 a 3/4 ci sono due passi da un quarto, quindi la distanza è 2/4, cioè 1/2. Quando due frazioni hanno lo stesso denominatore, la distanza è la differenza dei numeratori, contata in passi di quella grandezza. Quando i denominatori sono diversi, prima serve un passo comune, ed è di questo che parlano le unità 3 e 7.

C'è sempre un'altra frazione in mezzo

Tra due frazioni diverse ce n'è sempre un'altra. Tra 1/2 e 1 c'è 3/4. Tra 1/2 e 3/4 c'è 5/8, a metà strada. Tra 1/2 e 5/8 c'è 9/16, e puoi continuare a dimezzare quanto vuoi. Tra i numeri interi ci sono dei vuoti, ma le frazioni riempiono la retta in modo così fitto che nessuna ha una vicina immediata.

Un modo veloce per trovare una frazione tra altre due è sommare i numeratori e sommare i denominatori. Per 1/3 e 1/2 si ottiene 2/5, e infatti 1/3 è circa 0.333, 2/5 è 0.4 e 1/2 è 0.5. Questo numero, chiamato mediante, cade sempre strettamente tra le due frazioni di partenza quando i denominatori sono positivi. Serve a trovare un valore intermedio e a nient'altro: sommare le frazioni in questo modo dà una somma sbagliata, come spiega l'unità 7.

Punti di riferimento: 0, 1/2 e 1

Tre punti sono utili come riferimento. Una frazione è minore di 1/2 quando il numeratore è minore della metà del denominatore: 3/8 è minore di 1/2 perché 3 è minore di 4. Una frazione è vicina a 1 quando il numeratore è vicino al denominatore: 11/12 è solo 1/12 sotto 1. È vicina a 0 quando il numeratore è piccolo rispetto al denominatore: 1/20 è a un passo breve da 0.