Dividere le frazioni

3 ÷ 1/4 = 12: tre pizze intere tagliate in quarti fanno dodici fette.

La divisione chiede quante volte ci sta

Uno dei significati di 12 ÷ 3 è quante volte il 3 sta in 12. La stessa domanda funziona con le frazioni. 3 ÷ 1/4 chiede quanti quarti stanno in 3. Ogni intero contiene 4 quarti, quindi 3 interi ne contengono 12: 3 ÷ 1/4 = 12. Dividendo per una frazione minore di 1 si ottiene un risultato più grande del numero di partenza, perché i pezzi piccoli ci stanno molte volte.

Ora prova 2 ÷ 2/3. Quanti salti da 2/3 stanno in 2? In terzi, 2 è 6/3 e ogni salto è 2 terzi, quindi 6 ÷ 2 = 3 salti. 2 ÷ 2/3 = 3. Nota che cosa è successo: il 2 è stato moltiplicato per 3 per avere dei terzi, poi diviso per 2. È come moltiplicare 2 per 3/2.

Il reciproco

Il reciproco di una frazione è la frazione capovolta. Il reciproco di 3/5 è 5/3, il reciproco di 7 (cioè 7/1) è 1/7, e il reciproco di 1/4 è 4. Un numero per il suo reciproco fa sempre 1: 3/5 × 5/3 = 15/15 = 1. Lo zero non ha reciproco, perché nessun numero moltiplicato per 0 dà 1.

La regola della divisione è: per dividere per una frazione, moltiplica per il suo reciproco. a/b ÷ c/d = a/b × d/c. Molti la imparano come «capovolgi e moltiplica» senza che nessuno spieghi perché funziona. Ecco tre spiegazioni. Ne basta una qualsiasi, e ciascuna mostra la regola da un lato diverso.

Perché funziona 1: un denominatore comune

Quando due frazioni hanno lo stesso denominatore, dividerle significa solo dividere i numeratori. 6/8 ÷ 1/8 chiede quanti ottavi stanno in 6 ottavi: 6. Quindi 3/4 ÷ 1/8 = 6/8 ÷ 1/8 = 6. In generale, riscrivi a/b ÷ c/d con il denominatore b × d: (a × d)/(b × d) ÷ (c × b)/(b × d). I pezzi hanno la stessa grandezza, quindi il risultato è (a × d) ÷ (c × b), cioè (a × d)/(b × c). Ed è esattamente a/b × d/c.

Perché funziona 2: la divisione disfa la moltiplicazione

Dire 12 ÷ 3 = 4 è come dire 4 × 3 = 12. Quindi il risultato di 5/6 ÷ 2/3 è il numero che, moltiplicato per 2/3, dà 5/6. Prova 5/6 × 3/2: moltiplicandolo per 2/3 si ottiene 5/6 × 3/2 × 2/3, e 3/2 × 2/3 = 1, quindi il risultato è 5/6. Funziona. Moltiplicare per il reciproco è la mossa che disfa la moltiplicazione per la frazione, e disfare una moltiplicazione è proprio ciò che fa la divisione.

Perché funziona 3: fai diventare 1 il divisore

Scrivi la divisione come una frazione sopra un'altra: (3/5) fratto (4/7). Come ha mostrato l'unità 3, moltiplicare sopra e sotto una frazione per lo stesso numero non ne cambia il valore. Moltiplica entrambi per 7/4, il reciproco di quella in basso. Sotto diventa 4/7 × 7/4 = 1, e sopra diventa 3/5 × 7/4. Qualsiasi cosa divisa per 1 resta sé stessa, quindi 3/5 ÷ 4/7 = 3/5 × 7/4 = 21/20.

Spartire: dividere per un numero intero

Dividere significa anche spartire. 3/4 ÷ 3 spartisce tre quarti tra 3 persone, e ognuna riceve 1/4. La regola è d'accordo: 3/4 × 1/3 = 3/12 = 1/4. Dividere per 2 è come prendere la metà: 4/5 ÷ 2 = 4/5 × 1/2 = 2/5.

Esempi svolti

Esempio 1. 5/6 ÷ 2/3 = 5/6 × 3/2 = 15/12 = 5/4. Controllo: 5/4 × 2/3 = 10/12 = 5/6.

Esempio 2. I numeri misti si trasformano prima. 2 1/2 ÷ 3/4 = 5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3, cioè 3 1/3.

Esempio 3. Un nastro di 6 m viene tagliato in pezzi lunghi 3/4 m. 6 ÷ 3/4 = 6 × 4/3 = 24/3 = 8 pezzi.