Dividir fracciones

3 ÷ 1/4 = 12: tres pizzas enteras cortadas en cuartos dan doce porciones.

Dividir es preguntar cuántas veces cabe

Uno de los significados de 12 ÷ 3 es cuántos 3 caben en 12. La misma pregunta sirve con fracciones. 3 ÷ 1/4 pregunta cuántos cuartos caben en 3. Cada entero contiene 4 cuartos, así que 3 enteros contienen 12: 3 ÷ 1/4 = 12. Dividir entre una fracción menor que 1 da un resultado mayor que el número de partida, porque las piezas pequeñas caben muchas veces.

Ahora prueba con 2 ÷ 2/3. ¿Cuántos saltos de 2/3 caben en 2? En tercios, 2 son 6/3 y cada salto son 2 tercios, así que 6 ÷ 2 = 3 saltos. 2 ÷ 2/3 = 3. Fíjate en lo que pasó: el 2 se multiplicó por 3 para pasar a tercios y luego se dividió entre 2. Es lo mismo que multiplicar 2 por 3/2.

El inverso

El inverso (o recíproco) de una fracción es la fracción dada la vuelta. El inverso de 3/5 es 5/3, el inverso de 7 (que es 7/1) es 1/7, y el inverso de 1/4 es 4. Un número por su inverso siempre da 1: 3/5 × 5/3 = 15/15 = 1. El cero no tiene inverso, porque nada multiplicado por 0 da 1.

La regla de la división es: para dividir entre una fracción, multiplica por su inverso. a/b ÷ c/d = a/b × d/c. Mucha gente la aprende como «dar la vuelta y multiplicar» sin que nadie le explique por qué funciona. Aquí van tres explicaciones. Basta con cualquiera de ellas, y cada una muestra la regla desde un lado distinto.

Por qué funciona 1: un denominador común

Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, dividirlas es solo dividir los numeradores. 6/8 ÷ 1/8 pregunta cuántos octavos caben en 6 octavos: 6. Así que 3/4 ÷ 1/8 = 6/8 ÷ 1/8 = 6. En general, reescribe a/b ÷ c/d con el denominador b × d: (a × d)/(b × d) ÷ (c × b)/(b × d). Las piezas tienen el mismo tamaño, así que la respuesta es (a × d) ÷ (c × b), que es (a × d)/(b × c). Eso es exactamente a/b × d/c.

Por qué funciona 2: dividir deshace la multiplicación

Decir 12 ÷ 3 = 4 es lo mismo que decir 4 × 3 = 12. Así que la respuesta de 5/6 ÷ 2/3 es el número que, multiplicado por 2/3, da 5/6. Prueba con 5/6 × 3/2: multiplicarlo por 2/3 da 5/6 × 3/2 × 2/3, y 3/2 × 2/3 = 1, así que el resultado es 5/6. Funciona. Multiplicar por el inverso es la operación que deshace multiplicar por la fracción, y deshacer una multiplicación es justamente dividir.

Por qué funciona 3: convertir el divisor en 1

Escribe la división como una fracción encima de otra: (3/5) sobre (4/7). Como mostró la unidad 3, multiplicar arriba y abajo de una fracción por el mismo número no cambia su valor. Multiplica los dos por 7/4, el inverso del de abajo. Abajo queda 4/7 × 7/4 = 1, y arriba queda 3/5 × 7/4. Cualquier cosa dividida entre 1 es ella misma, así que 3/5 ÷ 4/7 = 3/5 × 7/4 = 21/20.

Repartir: dividir entre un número entero

Dividir también significa repartir. 3/4 ÷ 3 reparte tres cuartos entre 3 personas, y a cada una le toca 1/4. La regla coincide: 3/4 × 1/3 = 3/12 = 1/4. Dividir entre 2 es lo mismo que tomar la mitad: 4/5 ÷ 2 = 4/5 × 1/2 = 2/5.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. 5/6 ÷ 2/3 = 5/6 × 3/2 = 15/12 = 5/4. Comprobación: 5/4 × 2/3 = 10/12 = 5/6.

Ejemplo 2. Los números mixtos se convierten primero. 2 1/2 ÷ 3/4 = 5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3, que es 3 1/3.

Ejemplo 3. Una cinta de 6 m se corta en trozos de 3/4 m. 6 ÷ 3/4 = 6 × 4/3 = 24/3 = 8 trozos.