Diviser des fractions

3 ÷ 1/4 = 12 : trois pizzas entières coupées en quarts font douze parts.

La division demande combien de fois ça rentre

Un sens de 12 ÷ 3 est : combien de fois 3 rentre dans 12. La même question marche avec les fractions. 3 ÷ 1/4 demande combien de quarts rentrent dans 3. Chaque unité contient 4 quarts, donc 3 unités en contiennent 12 : 3 ÷ 1/4 = 12. Diviser par une fraction inférieure à 1 donne un résultat plus grand que le nombre de départ, car les petites parts rentrent de nombreuses fois.

Essaie maintenant 2 ÷ 2/3. Combien de bonds de 2/3 rentrent dans 2 ? En tiers, 2 vaut 6/3 et chaque bond fait 2 tiers, donc 6 ÷ 2 = 3 bonds. 2 ÷ 2/3 = 3. Regarde ce qui s'est passé : on a multiplié 2 par 3 pour obtenir des tiers, puis divisé par 2. Cela revient à multiplier 2 par 3/2.

L'inverse

L'inverse d'une fraction, c'est la fraction retournée. L'inverse de 3/5 est 5/3, l'inverse de 7 (c'est-à-dire 7/1) est 1/7, et l'inverse de 1/4 est 4. Un nombre multiplié par son inverse donne toujours 1 : 3/5 × 5/3 = 15/15 = 1. Zéro n'a pas d'inverse, car rien multiplié par 0 ne donne 1.

La règle de la division : pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse. a/b ÷ c/d = a/b × d/c. Beaucoup l'apprennent comme « on retourne et on multiplie » sans savoir pourquoi ça marche. Voici trois explications. Une seule suffit, et chacune montre la règle sous un angle différent.

Pourquoi ça marche 1 : un dénominateur commun

Quand deux fractions ont le même dénominateur, les diviser revient à diviser les numérateurs. 6/8 ÷ 1/8 demande combien de huitièmes rentrent dans 6 huitièmes : 6. Donc 3/4 ÷ 1/8 = 6/8 ÷ 1/8 = 6. En général, réécris a/b ÷ c/d avec le dénominateur b × d : (a × d)/(b × d) ÷ (c × b)/(b × d). Les parts ont la même taille, donc le résultat vaut (a × d) ÷ (c × b), soit (a × d)/(b × c). C'est exactement a/b × d/c.

Pourquoi ça marche 2 : la division défait la multiplication

Dire 12 ÷ 3 = 4 revient à dire 4 × 3 = 12. Donc le résultat de 5/6 ÷ 2/3 est le nombre qui, multiplié par 2/3, donne 5/6. Essaie 5/6 × 3/2 : le multiplier par 2/3 donne 5/6 × 3/2 × 2/3, et 3/2 × 2/3 = 1, donc on obtient 5/6. Ça marche. Multiplier par l'inverse, c'est le geste qui défait la multiplication par la fraction, et défaire une multiplication, c'est justement diviser.

Pourquoi ça marche 3 : rendre le diviseur égal à 1

Écris la division comme une fraction posée sur une autre : (3/5) sur (4/7). Comme l'a montré l'unité 3, multiplier le haut et le bas d'une fraction par le même nombre ne change pas sa valeur. Multiplie les deux par 7/4, l'inverse du bas. Le bas devient 4/7 × 7/4 = 1, et le haut devient 3/5 × 7/4. Tout nombre divisé par 1 reste lui-même, donc 3/5 ÷ 4/7 = 3/5 × 7/4 = 21/20.

Partager : diviser par un nombre entier

Diviser veut aussi dire partager. 3/4 ÷ 3 partage trois quarts entre 3 personnes, et chacune reçoit 1/4. La règle est d'accord : 3/4 × 1/3 = 3/12 = 1/4. Diviser par 2 revient à prendre la moitié : 4/5 ÷ 2 = 4/5 × 1/2 = 2/5.

Exemples corrigés

Exemple 1. 5/6 ÷ 2/3 = 5/6 × 3/2 = 15/12 = 5/4. Vérification : 5/4 × 2/3 = 10/12 = 5/6.

Exemple 2. On convertit d'abord les nombres fractionnaires. 2 1/2 ÷ 3/4 = 5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3, soit 3 1/3.

Exemple 3. Un ruban de 6 m est coupé en morceaux de 3/4 m. 6 ÷ 3/4 = 6 × 4/3 = 24/3 = 8 morceaux.