Divisão de frações

3 ÷ 1/4 = 12: três pizzas inteiras cortadas em quartos dão doze fatias.

Dividir pergunta quantas vezes cabe

Um dos sentidos de 12 ÷ 3 é quantos 3 cabem em 12. A mesma pergunta funciona com frações. 3 ÷ 1/4 pergunta quantos quartos cabem em 3. Cada inteiro tem 4 quartos, então 3 inteiros têm 12: 3 ÷ 1/4 = 12. Dividir por uma fração menor que 1 dá uma resposta maior que o número de partida, porque pedaços pequenos cabem muitas vezes.

Agora tente 2 ÷ 2/3. Quantos saltos de 2/3 cabem em 2? Em terços, 2 é 6/3 e cada salto tem 2 terços, então 6 ÷ 2 = 3 saltos. 2 ÷ 2/3 = 3. Repare no que aconteceu: o 2 foi multiplicado por 3 para virar terços e depois dividido por 2. Isso é o mesmo que multiplicar 2 por 3/2.

O inverso

O inverso de uma fração é a fração de cabeça para baixo. O inverso de 3/5 é 5/3, o inverso de 7 (que é 7/1) é 1/7, e o inverso de 1/4 é 4. Um número vezes o seu inverso é sempre 1: 3/5 × 5/3 = 15/15 = 1. O zero não tem inverso, já que nada vezes 0 dá 1.

A regra da divisão é: para dividir por uma fração, multiplique pelo inverso dela. a/b ÷ c/d = a/b × d/c. Muita gente aprende isso como "inverte e multiplica" sem saber por que funciona. Aqui vão três explicações. Qualquer uma basta, e cada uma mostra a regra de um lado diferente.

Por que funciona 1: um denominador comum

Quando duas frações têm o mesmo denominador, dividi-las é só dividir os numeradores. 6/8 ÷ 1/8 pergunta quantos oitavos cabem em 6 oitavos: 6. Então 3/4 ÷ 1/8 = 6/8 ÷ 1/8 = 6. Em geral, reescreva a/b ÷ c/d com o denominador b × d: (a × d)/(b × d) ÷ (c × b)/(b × d). Os pedaços têm o mesmo tamanho, então a resposta é (a × d) ÷ (c × b), ou seja, (a × d)/(b × c). Isso é exatamente a/b × d/c.

Por que funciona 2: a divisão desfaz a multiplicação

Dizer que 12 ÷ 3 = 4 é o mesmo que dizer que 4 × 3 = 12. Então a resposta de 5/6 ÷ 2/3 é o número que, multiplicado por 2/3, dá 5/6. Teste 5/6 × 3/2: multiplicar isso por 2/3 dá 5/6 × 3/2 × 2/3, e 3/2 × 2/3 = 1, então o resultado é 5/6. Funciona. Multiplicar pelo inverso é o movimento que desfaz a multiplicação pela fração, e desfazer a multiplicação é exatamente o que a divisão faz.

Por que funciona 3: transformar o divisor em 1

Escreva a divisão como uma fração em cima da outra: (3/5) sobre (4/7). Como a unidade 3 mostrou, multiplicar o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número não muda seu valor. Multiplique os dois por 7/4, o inverso do de baixo. O de baixo vira 4/7 × 7/4 = 1, e o de cima vira 3/5 × 7/4. Qualquer coisa dividida por 1 é ela mesma, então 3/5 ÷ 4/7 = 3/5 × 7/4 = 21/20.

Repartir: dividir por um número inteiro

Dividir também significa repartir. 3/4 ÷ 3 reparte três quartos entre 3 pessoas, e cada uma fica com 1/4. A regra concorda: 3/4 × 1/3 = 3/12 = 1/4. Dividir por 2 é o mesmo que tomar a metade: 4/5 ÷ 2 = 4/5 × 1/2 = 2/5.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1. 5/6 ÷ 2/3 = 5/6 × 3/2 = 15/12 = 5/4. Conferindo: 5/4 × 2/3 = 10/12 = 5/6.

Exemplo 2. Os números mistos são convertidos antes. 2 1/2 ÷ 3/4 = 5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3, que é 3 1/3.

Exemplo 3. Uma fita de 6 m é cortada em pedaços de 3/4 m. 6 ÷ 3/4 = 6 × 4/3 = 24/3 = 8 pedaços.