Деление дробей

3 ÷ 1/4 = 12: три целые пиццы, разрезанные на четвертинки, дают двенадцать кусков.

Деление спрашивает, сколько раз помещается

Одно из значений 12 ÷ 3: сколько раз 3 помещается в 12. Тот же вопрос работает и для дробей. 3 ÷ 1/4 спрашивает, сколько четвертей помещается в 3. В каждом целом 4 четверти, поэтому в 3 целых их 12: 3 ÷ 1/4 = 12. Деление на дробь меньше 1 даёт ответ больше исходного числа, потому что маленькие кусочки помещаются много раз.

Теперь попробуй 2 ÷ 2/3. Сколько прыжков по 2/3 помещается в 2? В третях 2 равно 6/3, а каждый прыжок равен 2 третям, поэтому 6 ÷ 2 = 3 прыжка. 2 ÷ 2/3 = 3. Заметь, что произошло: 2 умножили на 3, чтобы получить трети, затем разделили на 2. Это то же самое, что умножить 2 на 3/2.

Обратная дробь

Обратная дробь является исходной дробью, перевёрнутой вверх ногами. Обратная к 3/5 равна 5/3, обратная к 7 (то есть 7/1) равна 1/7, а обратная к 1/4 равна 4. Произведение числа на обратное всегда равно 1: 3/5 × 5/3 = 15/15 = 1. У нуля нет обратного числа, потому что никакое число, умноженное на 0, не даёт 1.

Правило деления: чтобы разделить на дробь, умножь на обратную ей дробь. a/b ÷ c/d = a/b × d/c. Многие запоминают его как «переверни и умножь», и никто не объясняет почему. Вот три объяснения. Достаточно любого одного, и каждое показывает правило с другой стороны.

Почему это работает, 1: общий знаменатель

Когда у двух дробей одинаковый знаменатель, разделить их значит просто разделить числители. 6/8 ÷ 1/8 спрашивает, сколько восьмых помещается в 6 восьмых: 6. Поэтому 3/4 ÷ 1/8 = 6/8 ÷ 1/8 = 6. В общем виде перепиши a/b ÷ c/d со знаменателем b × d: (a × d)/(b × d) ÷ (c × b)/(b × d). Кусочки одного размера, поэтому ответ равен (a × d) ÷ (c × b), то есть (a × d)/(b × c). А это в точности a/b × d/c.

Почему это работает, 2: деление отменяет умножение

Сказать 12 ÷ 3 = 4 то же самое, что сказать 4 × 3 = 12. Поэтому ответ на 5/6 ÷ 2/3 является числом, которое при умножении на 2/3 даёт 5/6. Попробуй 5/6 × 3/2: если умножить его на 2/3, получится 5/6 × 3/2 × 2/3, а 3/2 × 2/3 = 1, поэтому результат равен 5/6. Работает. Умножение на обратную дробь отменяет умножение на саму дробь, а отмена умножения и есть деление.

Почему это работает, 3: сделай делитель равным 1

Запиши деление как одну дробь над другой: (3/5) над (4/7). Как показал урок 3, умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число не меняет её значения. Умножь оба на 7/4, обратную к нижней. Внизу получится 4/7 × 7/4 = 1, а вверху 3/5 × 7/4. Любое число, делённое на 1, равно самому себе, поэтому 3/5 ÷ 4/7 = 3/5 × 7/4 = 21/20.

Делёж: деление на целое число

Деление означает ещё и делёж. 3/4 ÷ 3 делит три четверти между 3 людьми, и каждому достаётся 1/4. Правило согласуется: 3/4 × 1/3 = 3/12 = 1/4. Деление на 2 то же самое, что взять половину: 4/5 ÷ 2 = 4/5 × 1/2 = 2/5.

Разобранные примеры

Пример 1. 5/6 ÷ 2/3 = 5/6 × 3/2 = 15/12 = 5/4. Проверка: 5/4 × 2/3 = 10/12 = 5/6.

Пример 2. Смешанные числа сначала переводят. 2 1/2 ÷ 3/4 = 5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3, то есть 3 1/3.

Пример 3. Ленту длиной 6 м режут на куски по 3/4 м. 6 ÷ 3/4 = 6 × 4/3 = 24/3 = 8 кусков.