Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

2/7 + 3/7 = 5/7. Седьмые плюс седьмые остаются седьмыми, поэтому меняются только числители.

Считаем кусочки одного размера

Три яблока и два яблока дают пять яблок. Никто не складывает слово «яблоки» с самим собой и не получает «яблоки-яблоки». Дроби с одинаковым знаменателем устроены так же. Знаменатель называет размер кусочка, как слово «яблоки», а числитель считает кусочки. Поэтому 2/7 + 3/7 означает две седьмых плюс три седьмых, то есть пять седьмых: 5/7.

Правило: когда знаменатели одинаковые, сложи или вычти числители, а знаменатель оставь. В символах: a/n + b/n = (a + b)/n и a/n − b/n = (a − b)/n. Вот и весь способ. Остальная часть урока о том, как применять его аккуратно и приводить результат в порядок.

Почему нельзя складывать знаменатели

Самая частая ошибка: сложить и знаменатели тоже, 2/7 + 3/7 = 5/14. Быстрая проверка показывает, в чём дело. 5/14 меньше 1/2, а одна только 3/7 почти равна 1/2, и прибавление 2/7 должно её увеличить. Сложение знаменателей означало бы, что кусочки как-то уменьшаются, когда их складывают вместе. При сложении дробей размер кусочка никогда не меняется, меняется только их количество.

Сократи ответ

Сумма двух несократимых дробей не всегда несократима. 1/8 + 3/8 = 4/8, а 4/8 сокращается до 1/2. 7/10 − 3/10 = 4/10 = 2/5. 5/12 + 1/12 = 6/12 = 1/2. Всегда смотри на результат и сокращай на общий делитель, как в уроке 4.

Ответы больше 1

Когда сумма числителей больше знаменателя, ответ больше одного целого. 5/6 + 5/6 = 10/6. Сократи на 2 и получишь 5/3, то есть 1 целое и ещё 2/3. Урок 8 показывает, как переходить от 5/3 к смешанному числу 1 2/3 и обратно. Верна любая из этих записей. С неправильными дробями обычно удобнее продолжать вычисления.

Вычитание из 1

Чтобы вычесть дробь из 1, запиши 1 как дробь с тем же знаменателем. 1 − 3/10 = 10/10 − 3/10 = 7/10. Если израсходовано 3/10 бака топлива, осталось 7/10. Тот же приём работает для любого целого числа: 2 − 3/4 = 8/4 − 3/4 = 5/4.

Шагаем по числовой прямой

Числовая прямая из урока 2 даёт ещё одну картинку того же правила. Прибавить дробь с тем же знаменателем значит шагать вправо шагами такого размера. Для 3/8 + 4/8 начни с 3/8 и сделай ещё 4 шага по восьмой: попадёшь в 7/8. Вычитание шагает влево. Картинка показывает и то, почему сумма может перейти через 1. Начни с 5/6 и сделай ещё пять шагов по шестой: первый приведёт тебя к 6/6, то есть к 1, а остальные четыре донесут до 10/6.

Вычитание всегда можно проверить обратным сложением. Если 9/10 − 4/10 = 5/10, то 5/10 + 4/10 снова должно дать 9/10, и так и есть. Такая проверка занимает несколько секунд и ловит большинство ошибок со знаками и числителями.

Больше двух дробей

Правило распространяется на любое число дробей с одинаковым знаменателем. 1/5 + 2/5 + 4/5 = 7/5. Смешанные сложения и вычитания выполняются слева направо: 9/11 − 4/11 + 2/11 = 5/11 + 2/11 = 7/11.

Разобранные примеры

Пример 1. Ты наливаешь в миску 3/4 чашки воды, потом ещё 3/4 чашки. Сколько воды в миске? 3/4 + 3/4 = 6/4 = 3/2 чашки, полторы чашки.

Пример 2. Тропа длиной 9/10 км, и ты прошёл 4/10 км. Сколько осталось? 9/10 − 4/10 = 5/10 = 1/2 км.

Пример 3. Фильм идёт 7/4 часа, и ты посмотрел 5/4 часа. 7/4 − 5/4 = 2/4 = 1/2 часа, значит, осталось 30 минут.