Равные дроби

1/2, 2/4, 3/6 и 50/100 являются четырьмя названиями одной и той же точки на числовой прямой.

Одна величина, разные разрезы

Возьми лист бумаги, сложи его пополам и закрась одну половину. Теперь сложи его пополам ещё раз в другую сторону. Закрашенная часть не изменилась, но лист теперь разделён на 4 равные части, и закрашенная область занимает 2 из них. Та же величина, что была 1/2, теперь равна 2/4. Сложи ещё раз, и она станет 4/8. Дроби, которые обозначают одну и ту же величину, называются равными.

Каждое складывание удваивало число частей и одновременно удваивало число закрашенных частей. Вот правило в одном предложении: если умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, значение дроби не изменится. 1/2 превращается в 3/6, если оба числа умножить на 3, и в 50/100, если оба умножить на 50.

Почему правило работает

Умножение знаменателя на 3 разрезает каждый кусочек на 3 кусочка поменьше. Кусочков становится в 3 раза больше, и каждый стал втрое меньше. Умножение числителя на 3 берёт в 3 раза больше таких маленьких кусочков. Два действия точно уравновешивают друг друга, поэтому общая величина остаётся прежней.

Можно объяснить и через число 1. Любая дробь с одинаковыми числителем и знаменателем, например 3/3 или 50/50, равна 1. Умножение числа на 1 его не меняет. Поэтому 1/2 × 3/3 = 3/6 то же самое, что 1/2 × 1, а это по-прежнему 1/2. Найти равную дробь значит умножить на удачно выбранную запись числа 1.

Правило работает и в обратную сторону. Если разделить числитель и знаменатель на одно и то же число, тоже получится равная дробь, лишь бы оба делились нацело. 6/9 после деления числителя и знаменателя на 3 даёт 2/3. Такое действие называется сокращением, и о нём следующий урок.

Что не работает

Если прибавить одно и то же число к числителю и знаменателю, равной дроби не получится. Прибавь 1 к обеим частям 1/2, и получится 2/3, а 2/3 больше 1/2. Вычитание тоже не работает: если из обеих частей 3/4 вычесть 1, получится 2/3, а это меньше. Значение сохраняют только умножение и деление, потому что только они согласованно меняют и число кусочков, и размер каждого.

Как найти пропущенное число

Во многих задачах нужно дописать равную дробь, например 3/5 = ?/20. Спроси себя, на что умножили известную часть. Знаменатель из 5 стал 20, это × 4, значит, и числитель нужно умножить на 4: 3 × 4 = 12, и 3/5 = 12/20. Для 2/3 = 10/? числитель из 2 стал 10, это × 5, поэтому знаменатель равен 3 × 5 = 15.

Проверка двух дробей перекрёстным умножением

Чтобы проверить, равны ли две дроби, ничего не рисуя, умножь числитель каждой на знаменатель другой. Для 6/8 и 9/12: 6 × 12 = 72 и 9 × 8 = 72. Произведения крест-накрест равны, значит, дроби равны. Для 3/7 и 9/20: 3 × 20 = 60 и 9 × 7 = 63, произведения разные, значит, дроби не равны. Проверка работает, потому что эти произведения и есть числители, которые получатся, если привести обе дроби к общему знаменателю 8 × 12 или 7 × 20.

Где используются равные дроби

Именно равные дроби делают возможным весь остальной курс. Сравнение 2/3 и 3/4, сложение 1/2 и 1/3 и перевод 3/4 в проценты начинаются с того, что дроби переписывают с общим знаменателем. 3/4 = 75/100, и поэтому три четверти составляют 75%. Каждый рецепт, где чашки пересчитывают в половинки, и каждая линейка с делениями в шестнадцатые доли дюйма опираются на то же правило.

Пример. Запиши три дроби, равные 2/5. Умножь обе части на 2, 3 и 10: 4/10, 6/15 и 20/50. Проверь одну перекрёстным умножением: 2 × 15 = 30 и 6 × 5 = 30.