Дроби на числовой прямой

3/4 находится на трёх четвертях пути от 0 до 1, а 7/4 на таком же расстоянии за 1.

У каждой дроби есть место на прямой

Дробь больше, чем кусок пиццы. Это число, и, как у каждого числа, у неё есть одно точное место на числовой прямой. Отмечать дроби на прямой нагляднее всего, чтобы увидеть, насколько они велики по сравнению друг с другом и с целыми числами. Ту же картинку ты потом будешь использовать для десятичных дробей, отрицательных чисел и делений на линейке.

Чтобы отметить 3/4, возьми отрезок от 0 до 1 и раздели его на 4 равных шага. Длина каждого шага 1/4. Отсчитай от 0 три шага и попадёшь в 3/4. Знаменатель определяет, насколько мелко делится каждая единица, а числитель определяет, сколько шагов сделать от 0.

Тот же способ работает и дальше 1. На прямой выше в каждой единице четыре шага по четверти, поэтому 1 находится в точке 4/4, а 2 в точке 8/4. Чтобы отметить 7/4, сделай семь шагов по четверти: четыре из них приведут тебя к 1, а ещё три к 7/4. Точка лежит между 1 и 2, ближе к 2.

Считай промежутки, а не штрихи

Если на числовой прямой уже есть штрихи, сначала выясни, чему равен каждый шаг. Считай промежутки между 0 и 1, а не штрихи. Прямая с 6 промежутками между 0 и 1 размечена шестыми долями, хотя штрихов видно 7, если считать штрихи у 0 и у 1. Считать штрихи вместо промежутков является самой частой ошибкой с числовой прямой, и ответ получается неверным на одну часть.

Пример 1. На прямой от 0 до 1 5 равных промежутков, и точка стоит на третьем штрихе после 0. Каждый промежуток равен 1/5, поэтому точка находится в 3/5.

Пример 2. На прямой от 0 до 2 всего 8 равных промежутков. В каждой единице 4 промежутка, поэтому каждый промежуток равен 1/4, а не 1/8. Точка в шести промежутках от 0 находится в 6/4, а это то же самое, что 1 целая и одна вторая.

Пример 3. Где находится 2/3 по сравнению с 1/2? Раздели единицу на шестые доли. 1/2 это 3/6, а 2/3 это 4/6, поэтому 2/3 лежит на одну шестую правее 1/2.

Расстояние между двумя дробями

Числовая прямая показывает и то, насколько далеко друг от друга две дроби. От 1/4 до 3/4 два шага по четверти, поэтому расстояние равно 2/4, то есть 1/2. Когда у двух дробей одинаковый знаменатель, расстояние равно разности числителей, отсчитанной шагами такого размера. Когда знаменатели разные, сначала нужен общий размер шага, и об этом уроки 3 и 7.

Между ними всегда есть ещё одна дробь

Между любыми двумя разными дробями всегда есть ещё одна. Между 1/2 и 1 есть 3/4. Между 1/2 и 3/4 есть 5/8, ровно посередине. Между 1/2 и 5/8 есть 9/16, и делить пополам можно сколько угодно. Между целыми числами есть промежутки, а дроби заполняют прямую так плотно, что никакие две из них не являются соседями вплотную.

Быстрый способ найти дробь между двумя другими: сложить их числители и сложить знаменатели. Для 1/3 и 1/2 получается 2/5, и действительно, 1/3 примерно равна 0.333, 2/5 равна 0.4, а 1/2 равна 0.5. Это число, медианта, при положительных знаменателях всегда попадает строго между двумя исходными дробями. Это способ найти промежуточное значение и не более того: если так складывать дроби, сумма получится неверной, как объясняет урок 7.

Ориентиры: 0, 1/2 и 1

Три точки стоит использовать как ориентиры. Дробь меньше 1/2, когда её числитель меньше половины знаменателя: 3/8 меньше 1/2, потому что 3 меньше 4. Дробь близка к 1, когда числитель близок к знаменателю: 11/12 всего на 1/12 меньше 1. Она близка к 0, когда числитель мал по сравнению со знаменателем: 1/20 находится в коротком шаге от 0.