수직선 위의 분수

3/4은 0에서 1까지의 4분의 3 지점에, 7/4은 1을 지나 같은 거리만큼 더 간 곳에 있습니다.

분수마다 수직선 위에 자리가 있습니다

분수는 피자 조각만 뜻하지 않습니다. 분수도 수이고, 모든 수처럼 수직선 위에 정확히 한 자리를 가집니다. 수직선에 분수를 놓아 보면 분수끼리, 또 자연수와 비교해 얼마나 큰지 가장 분명하게 보입니다. 나중에 소수, 음수, 자의 눈금을 읽을 때도 같은 그림을 씁니다.

3/4을 놓으려면 0에서 1까지를 똑같이 4칸으로 나눕니다. 한 칸의 길이가 1/4입니다. 0에서 세 칸 가면 3/4에 닿습니다. 분모는 1을 얼마나 잘게 나눌지 정하고, 분자는 0에서 몇 칸 갈지 정합니다.

1을 넘어도 방법은 같습니다. 위 수직선에서는 1마다 4분의 1칸이 네 개씩 있으니 1은 4/4, 2는 8/4 자리입니다. 7/4을 놓으려면 4분의 1칸을 일곱 번 갑니다. 네 번이면 1에 닿고, 세 번 더 가면 7/4입니다. 이 점은 1과 2 사이, 2에 더 가까운 곳에 있습니다.

눈금 개수가 아니라 칸 수를 셉니다

눈금이 이미 그려진 수직선을 읽을 때는 먼저 한 칸이 얼마인지 알아냅니다. 0과 1 사이의 눈금 개수가 아니라 칸 수를 세야 합니다. 0과 1 사이가 6칸이면 0과 1의 눈금까지 쳐서 눈금은 7개가 보여도 6분의 1 단위입니다. 칸 대신 눈금을 세는 것이 수직선에서 가장 흔한 실수이고, 답이 한 조각만큼 어긋나게 됩니다.

예시 1. 0에서 1까지 똑같이 5칸으로 나눈 수직선에서 0 다음 셋째 눈금에 점이 있습니다. 한 칸이 1/5이므로 점은 3/5입니다.

예시 2. 0에서 2까지 모두 8칸으로 나눈 수직선입니다. 1마다 4칸씩이므로 한 칸은 1/8이 아니라 1/4입니다. 0에서 여섯 칸 떨어진 점은 6/4이고, 이는 1과 2분의 1과 같습니다.

예시 3. 2/3은 1/2과 비교해 어디에 있을까요? 1을 6칸으로 나누면 1/2은 3/6, 2/3은 4/6입니다. 그래서 2/3은 1/2보다 6분의 1칸 오른쪽에 있습니다.

두 분수 사이의 거리

수직선을 보면 두 분수가 얼마나 떨어져 있는지도 보입니다. 1/4에서 3/4까지는 4분의 1칸이 두 개이므로 거리는 2/4, 줄이면 1/2입니다. 분모가 같으면 거리는 분자의 차를 그 칸 크기로 센 것입니다. 분모가 다르면 먼저 칸 크기를 맞춰야 하고, 그 방법은 3단원과 7단원에서 다룹니다.

두 분수 사이에는 언제나 또 다른 분수가 있습니다

서로 다른 두 분수 사이에는 언제나 다른 분수가 있습니다. 1/2과 1 사이에는 3/4이 있습니다. 1/2과 3/4 사이에는 그 한가운데인 5/8이, 1/2과 5/8 사이에는 9/16이 있고, 이렇게 반으로 나누는 일은 끝없이 계속할 수 있습니다. 자연수 사이에는 빈틈이 있지만 분수는 수직선을 빽빽하게 채워서 「바로 옆 분수」라는 것이 없습니다.

두 분수 사이의 분수를 빨리 찾으려면 분자끼리, 분모끼리 더해 보세요. 1/3과 1/2이면 2/5가 나오고, 실제로 1/3은 약 0.333, 2/5는 0.4, 1/2은 0.5입니다. 이 수를 중간수(mediant)라고 하며, 분모가 양수이면 언제나 두 분수 사이에 놓입니다. 다만 사이의 값을 찾는 요령일 뿐입니다. 분수 덧셈을 이렇게 하면 틀린 답이 나온다는 것은 7단원에서 봅니다.

기준점 0, 1/2, 1

기준점으로 쓰기 좋은 점이 세 개 있습니다. 분자가 분모의 절반보다 작으면 1/2보다 작습니다. 3/8은 3이 4보다 작으므로 1/2보다 작습니다. 분자가 분모에 가까우면 1에 가깝습니다. 11/12는 1보다 1/12만 작습니다. 분자가 분모에 비해 아주 작으면 0에 가깝습니다. 1/20은 0에서 아주 조금 떨어져 있습니다.