Les fractions sur une droite graduée

3/4 se trouve aux trois quarts du chemin entre 0 et 1, et 7/4 à la même distance après 1.

Chaque fraction a sa place sur la droite

Une fraction, c'est plus qu'une part de pizza. C'est un nombre, et comme tout nombre il occupe une position exacte sur la droite graduée. Placer des fractions sur une droite est le moyen le plus clair de voir leur taille les unes par rapport aux autres et par rapport aux nombres entiers. C'est aussi l'image que tu utiliseras plus tard pour les nombres décimaux, les nombres négatifs et les mesures sur une règle.

Pour placer 3/4, prends le segment de 0 à 1 et coupe-le en 4 pas égaux. Chaque pas mesure 1/4. Compte trois pas depuis 0 et tu arrives sur 3/4. Le dénominateur décide de la finesse du découpage de chaque unité, et le numérateur du nombre de pas à faire depuis 0.

La même méthode fonctionne au-delà de 1. Sur la droite ci-dessus, chaque unité contient quatre pas d'un quart, donc 1 est en 4/4 et 2 en 8/4. Pour placer 7/4, fais sept pas d'un quart : quatre t'amènent à 1 et trois de plus à 7/4. Le point se trouve entre 1 et 2, plus près de 2.

Compte les intervalles, pas les graduations

Quand une droite est déjà graduée, commence par trouver la valeur de chaque pas. Compte les intervalles entre 0 et 1, pas les traits. Une droite avec 6 intervalles entre 0 et 1 est graduée en sixièmes, même si tu vois 7 traits en comptant ceux de 0 et de 1. Compter les traits au lieu des intervalles est l'erreur la plus courante avec les droites graduées, et elle donne des réponses décalées d'une part.

Exemple 1. Une droite de 0 à 1 a 5 intervalles égaux et un point sur la troisième graduation après 0. Chaque intervalle vaut 1/5, donc le point est en 3/5.

Exemple 2. Une droite de 0 à 2 a 8 intervalles égaux en tout. Chaque unité contient 4 intervalles, donc chaque intervalle vaut 1/4, et non 1/8. Un point situé à six intervalles de 0 est en 6/4, soit 1 et demi.

Exemple 3. Où se trouve 2/3 par rapport à 1/2 ? Coupe l'unité en sixièmes. 1/2 vaut 3/6 et 2/3 vaut 4/6, donc 2/3 est un sixième à droite de 1/2.

La distance entre deux fractions

La droite graduée montre aussi l'écart entre deux fractions. De 1/4 à 3/4, il y a deux pas d'un quart, donc la distance est 2/4, soit 1/2. Quand deux fractions ont le même dénominateur, la distance est la différence des numérateurs, comptée dans cette taille de pas. Quand les dénominateurs sont différents, il faut d'abord une taille de pas commune : c'est le sujet des unités 3 et 7.

Il y a toujours une autre fraction entre deux

Entre deux fractions différentes, il y en a toujours une autre. Entre 1/2 et 1, il y a 3/4. Entre 1/2 et 3/4, il y a 5/8, à mi-chemin. Entre 1/2 et 5/8, il y a 9/16, et tu peux continuer à couper en deux aussi longtemps que tu veux. Les nombres entiers laissent des trous entre eux, mais les fractions remplissent la droite si densément que deux d'entre elles ne sont jamais voisines immédiates.

Pour trouver vite une fraction entre deux autres, additionne leurs numérateurs et additionne leurs dénominateurs. Pour 1/3 et 1/2, cela donne 2/5, et en effet 1/3 vaut environ 0.333, 2/5 vaut 0.4 et 1/2 vaut 0.5. Ce nombre, appelé médiante, tombe toujours strictement entre les deux fractions de départ quand les dénominateurs sont positifs. Il sert à trouver une valeur intermédiaire, rien de plus : additionner des fractions de cette façon donne une somme fausse, comme l'explique l'unité 7.

Des repères : 0, 1/2 et 1

Trois points font de bons repères. Une fraction est inférieure à 1/2 quand son numérateur est inférieur à la moitié de son dénominateur : 3/8 est inférieur à 1/2 car 3 est inférieur à 4. Une fraction est proche de 1 quand son numérateur est proche de son dénominateur : 11/12 n'est qu'à 1/12 en dessous de 1. Elle est proche de 0 quand le numérateur est petit par rapport au dénominateur : 1/20 est à un petit pas de 0.