Multiplier des fractions

La moitié de trois quarts, c'est trois huitièmes : 1/2 × 3/4 = 3/8, et le modèle d'aire montre les 8 parts.

Un nombre entier fois une fraction

Pars de ce que la multiplication veut déjà dire : une addition répétée. 3 × 2/5, c'est trois fois 2/5, soit 2/5 + 2/5 + 2/5 = 6/5. Seul le numérateur a changé, car on compte plus de cinquièmes. Donc un nombre entier fois une fraction multiplie le numérateur : 3 × 2/5 = (3 × 2)/5 = 6/5.

Multiplier un nombre entier par une fraction revient aussi à en prendre une fraction, comme dans l'unité 1. 5/6 × 12 demande les 5/6 de 12 : 12 ÷ 6 = 2, et 2 × 5 = 10. Dans les problèmes, le petit mot « de » (comme dans « les trois quarts de ») signifie presque toujours multiplier.

Une fraction d'une fraction

Combien vaut la moitié de 3/4 ? Dessine un carré et partage-le en 4 colonnes. Colories-en 3 pour 3/4. Partage ensuite le carré en 2 lignes et prends la ligne du haut, la moitié de l'ensemble. La partie coloriée dans les deux sens couvre 3 petites cases, et le carré entier compte maintenant 4 × 2 = 8 cases. Donc la moitié de 3/4 vaut 3/8.

Le dessin explique la règle. Les dénominateurs se multiplient, car couper en 4 colonnes puis en 2 lignes donne 4 × 2 petites cases. Les numérateurs se multiplient, car la zone commune fait 3 colonnes de large et 1 ligne de haut, soit 3 × 1 cases. Donc a/b × c/d = (a × c)/(b × d) : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pas besoin de dénominateur commun.

Simplifie avant de multiplier

Les produits grandissent vite. 4/9 × 3/8 = 12/72, qui se simplifie ensuite en 1/6. Il est plus simple de barrer d'abord les facteurs communs. N'importe quel numérateur peut se simplifier avec n'importe quel dénominateur, même d'une fraction à l'autre, car les quatre nombres finissent dans une seule grande fraction (4 × 3)/(9 × 8). Le 4 et le 8 ont 4 en commun, il reste 1 et 2. Le 3 et le 9 ont 3 en commun, il reste 1 et 3. Il reste 1/3 × 1/2 = 1/6.

Pourquoi le résultat peut être plus petit

Avec les nombres entiers, multiplier agrandit. Avec des fractions inférieures à 1, cela rapetisse, ce qui surprend beaucoup de monde. 7/8 × 5 est inférieur à 5, car on prend les 7/8 de 5, pas la totalité. Multiplier par un nombre inférieur à 1 réduit, multiplier par 1 ne change rien, et multiplier par un nombre supérieur à 1 agrandit.

Une fraction d'une fraction dans la vie courante

Multiplier des fractions répond aux questions sur la partie d'une partie. Supposons que les 2/3 des élèves d'un collège fassent de la musique, et que 1/4 d'entre eux jouent de la batterie. Les batteurs représentent 1/4 des 2/3 du collège : 1/4 × 2/3 = 2/12 = 1/6 de tous les élèves. L'ordre n'a pas d'importance, puisque 2/3 × 1/4 donne le même 1/6.

Élever une fraction au carré, c'est la multiplier par elle-même. Un carreau carré de 2/3 m de côté a une aire de 2/3 × 2/3 = 4/9 mètre carré. L'aire, 4/9, est plus petite que la longueur du côté, 2/3, ce qui serait impossible avec des nombres entiers plus grands que 1.

Nombres fractionnaires : convertir d'abord

Il faut transformer les nombres fractionnaires en fractions avant de multiplier. 1 1/2 × 2 2/3 = 3/2 × 8/3. Simplifie les 3, et le 2 avec le 8 : 1/1 × 4/1 = 4. Une erreur fréquente consiste à multiplier séparément les parties entières et les fractions, 1 × 2 plus 1/2 × 2/3, ce qui donne 2 1/3. On oublie alors les termes croisés, 1 × 2/3 et 1/2 × 2, de la même façon que 12 × 13 n'est pas 1 × 1 plus 2 × 3.

Exemples corrigés

Exemple 1. Une recette demande 2/3 de tasse de sucre et tu n'en prépares que les 3/4 : 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2 tasse.

Exemple 2. Un rectangle de carton mesure 3/4 m de long et 2/5 m de large. Son aire vaut 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10 mètre carré.

Exemple 3. 2 1/4 × 4/3 = 9/4 × 4/3. Simplifie les 4, et 9 avec 3 : 3/1 × 1/1 = 3.