Comparer et ranger des fractions

5/8 est-il plus grand que 3/5 ? Les produits en croix donnent 25 contre 24, donc oui, d'exactement 1/40.

Pourquoi comparer des fractions demande de l'attention

Avec les nombres entiers, le nombre qui paraît le plus grand est le plus grand. Avec les fractions, ce raccourci ne marche plus. 1/8 a un dénominateur plus grand que 1/3, et pourtant il est bien plus petit, car le tout a été coupé en plus de parts. Pour comparer des fractions sans se tromper, il faut regarder les deux nombres ensemble. Cette unité présente quatre méthodes, des cas particuliers les plus rapides à une méthode qui marche toujours.

Même dénominateur ou même numérateur

Quand les dénominateurs sont égaux, les parts ont la même taille, donc la fraction qui a le plus de parts est la plus grande : 7/12 > 5/12. Quand les numérateurs sont égaux, on a le même nombre de parts, donc la fraction aux plus grandes parts est la plus grande, et les plus grandes parts viennent du plus petit dénominateur : 4/7 > 4/9, et 3/4 > 3/5. Beaucoup de gens inversent ce second cas, alors représente-le-toi : 3 parts d'une pizza coupée en 4 sont plus grosses que 3 parts d'une pizza coupée en 5.

Des repères

Parfois, un repère règle la question tout de suite. Compare 4/9 et 5/8. La moitié de 9 est 4.5, donc 4/9 est un peu inférieur à 1/2. La moitié de 8 est 4, donc 5/8 est supérieur à 1/2. L'un est sous la moitié et l'autre au-dessus, donc 5/8 > 4/9 sans aucun calcul. La même idée marche près de 1 : il manque 1/8 à 7/8 pour atteindre 1 et 1/10 à 9/10, et comme 1/10 est l'écart le plus petit, 9/10 est le plus grand.

Un dénominateur commun

La méthode générale consiste à réécrire les deux fractions avec le même dénominateur, puis à comparer les numérateurs. Pour 2/3 et 3/4, le dénominateur 12 convient aux deux : 2/3 = 8/12 et 3/4 = 9/12, donc 3/4 est plus grand de 1/12. N'importe quel multiple commun des deux dénominateurs fait l'affaire. Le plus petit garde des nombres petits, mais multiplier les deux dénominateurs entre eux marche toujours.

Les produits en croix

Les produits en croix, c'est la méthode du dénominateur commun sans écrire le dénominateur. Pour comparer a/b et c/d, compare a × d et c × b. Pour 5/8 et 3/5 : 5 × 5 = 25 et 3 × 8 = 24. Comme 25 > 24, 5/8 > 3/5. Ces deux produits sont les numérateurs qu'on obtiendrait avec le dénominateur commun 8 × 5 = 40, ce qui donne aussi l'écart : 25/40 − 24/40 = 1/40.

Les produits en croix marchent aussi pour des fractions presque identiques. Laquelle est la plus grande, 99/100 ou 100/101 ? 99 × 101 = 9999 et 100 × 100 = 10 000, donc 100/101 est la plus grande. Il manque une part à chaque fraction pour atteindre 1, et les parts de 101 sont plus petites que celles de 100.

Les nombres décimaux

Tu peux aussi diviser chaque numérateur par son dénominateur et comparer les nombres décimaux. 17/20 = 0.85 et 21/25 = 0.84, donc une note de 17 sur 20 est un peu meilleure que 21 sur 25. C'est pratique avec une calculatrice, mais les décimaux illimités comme 1/3 = 0.333... demandent assez de chiffres pour être sûr.

Ranger plusieurs fractions

Pour ranger une liste, réécris toutes les fractions avec un même dénominateur. Range 1/2, 5/12, 2/3, 3/4 et 7/12. Tous les dénominateurs divisent 12, donc écris-les 6/12, 5/12, 8/12, 9/12 et 7/12. Lis ensuite les numérateurs du plus petit au plus grand : 5/12, 1/2, 7/12, 2/3, 3/4. Avec une liste variée, il aide aussi de trier d'abord avec les repères : tout ce qui est sous 1/2, puis tout ce qui est entre 1/2 et 1, puis tout ce qui dépasse 1.

Exemple. Une recette demande 2/3 de tasse de lait, et ton verre doseur est gradué en quarts. 3/4 de tasse suffit-il ? Produits en croix : 3 × 3 = 9 et 2 × 4 = 8, donc 3/4 > 2/3 et la graduation 3/4 contient un peu plus que nécessaire, 1/12 de tasse de plus.