分数の大小と並べ方

5/8は3/5より大きいでしょうか？ たすきがけをすると25と24なので大きく、その差はちょうど1/40です。

分数を比べるときに注意がいるわけ

整数なら、大きく見える数のほうが大きい数です。分数では、この近道が通用しません。1/8は1/3より分母が大きいのに、ずっと小さい数です。全体をより多くの部分に切っているからです。分数を確実に比べるには、分子と分母の両方を合わせて見る必要があります。この単元では、すぐにわかる特別な場合から、いつでも使える方法まで、四つの方法を紹介します。

分母が同じとき、分子が同じとき

分母が同じなら部分の大きさが同じなので、部分の数が多い分数のほうが大きくなります：7/12 > 5/12。分子が同じなら部分の数が同じなので、部分が大きい分数のほうが大きく、部分が大きくなるのは分母が小さいときです：4/7 > 4/9、3/4 > 3/5。この二つ目の場合を逆に考えてしまう人が多いので、思いうかべてみましょう。4つに切ったピザの3切れは、5つに切ったピザの3切れより大きいのです。

目じるしを使う

目じるしを使うと、すぐに答えが出ることがあります。4/9と5/8を比べましょう。9の半分は4.5なので、4/9は1/2より少し小さくなります。8の半分は4なので、5/8は1/2より大きくなります。一方は真ん中より下、もう一方は上なので、計算しなくても5/8 > 4/9です。1の近くでも同じ考え方が使えます。7/8は1より1/8小さく、9/10は1/10小さいだけです。1/10のほうが差が小さいので、9/10のほうが大きくなります。

通分する

いつでも使える方法は、二つの分数を同じ分母に書きかえて（通分して）から分子を比べることです。2/3と3/4なら分母12がどちらにも使えます：2/3 = 8/12、3/4 = 9/12なので、3/4のほうが1/12大きくなります。二つの分母の公倍数ならどれでもかまいません。最小公倍数を使うと数が小さくてすみますが、二つの分母をかけ合わせた数ならいつでも使えます。

たすきがけ

たすきがけは、通分する方法から分母を省いたものです。a/bとc/dを比べるには、a × dとc × bを比べます。5/8と3/5なら、5 × 5 = 25、3 × 8 = 24です。25 > 24なので5/8 > 3/5。この二つの積は、共通の分母8 × 5 = 40を使ったときの分子なので、差もわかります：25/40 − 24/40 = 1/40。

たすきがけは、ほとんど同じに見える分数にも使えます。99/100と100/101では、どちらが大きいでしょう？ 99 × 101 = 9,999、100 × 100 = 10,000なので、100/101のほうが大きくなります。どちらの分数も1より一つ分小さいのですが、101等分した部分は100等分した部分より小さいからです。

小数を使う

それぞれの分子を分母でわり、小数どうしを比べることもできます。17/20 = 0.85、21/25 = 0.84なので、20点中17点は、25点中21点よりわずかによい成績です。電卓があれば便利ですが、1/3 = 0.333...のような循環小数では、確かめられるだけの桁数が必要です。

いくつかの分数を順に並べる

いくつかの分数を並べるには、すべての分数を一つの共通な分母に書きかえます。1/2、5/12、2/3、3/4、7/12を並べてみましょう。分母はどれも12をわり切るので、6/12、5/12、8/12、9/12、7/12と書けます。あとは分子を小さい順に読めば、5/12、1/2、7/12、2/3、3/4です。いろいろな分数がまざっているときは、まず目じるしで分けるのも役に立ちます。1/2より小さいもの、1/2と1の間のもの、1より大きいものの順です。

例題。レシピに牛乳2/3カップとあり、手もとには四分の一ごとに目盛りのついた計量カップがあります。3/4カップで足りるでしょうか？ たすきがけをすると3 × 3 = 9、2 × 4 = 8なので3/4 > 2/3で、3/4の目盛りまで入れれば必要な量より少し多く、その差は1/12カップです。