分母が違う分数のたし算とひき算

1/2 + 1/3 = 5/6。二分の一と三分の一をどちらも六分の一に切り直して、はじめて答えが見えてきます。

大きさの違う部分は一緒に数えられない

前の単元では部分の大きさが同じだったので、たし算は数えることでした。今度は1/2 + 1/3を考えましょう。一方の部分は二分の一、もう一方は三分の一です。二つの部分は大きさが違うので、何かが二つあるとは言えません。一緒に数えるには、その前に両方に合う大きさに切り直す必要があります。

六分の一ならうまくいきます。二分の一は六分の一の3つ分、三分の一は六分の一の2つ分なので、1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6です。6という数は共通な分母で、どちらの分母でもわり切れる数です。両方の分数を六分の一の単位で書いてしまえば、あとはふつうの分母が同じたし算です。

共通な分母を見つける

二つの分母の公倍数なら、どれでも共通な分母にできます。分母どうしの積はいつでも使えます。3/4 + 5/6なら4 × 6 = 24を使えます。最小公倍数を使った最小公分母にすると、数が小さくてすみます。見つけるには、大きいほうの分母の倍数を、小さいほうの分母でわり切れるものが出てくるまで書き出します。6の倍数は6、12、18と続き、4でわり切れる最初の数は12なので、4と6の最小公分母は12です。

四つの手順

一つ目に、共通な分母を見つけます。二つ目に、分子と分母に同じ数をかけて、それぞれの分数をその分母の大きさの等しい分数に書きかえます（通分）。三つ目に、分子どうしをたしたりひいたりします。四つ目に、答えを約分します。最小公分母12で3/4 + 5/6を計算すると、3/4 = 9/12、5/6 = 10/12なので、和は19/12です。19と12をどちらもわり切る数はないので、19/12が答えで、1と半分より少し多い量です。

ひき算も同じ手順です。7/8 − 1/6なら、8の倍数は8、16、24で、6でわり切れる最初の数は24です。7/8 = 21/24、1/6 = 4/24なので、差は17/24です。分数が三つのときは、すべてに使える分母を一つ見つけます。2/3 + 1/4 + 1/6は12を使って：8/12 + 3/12 + 2/12 = 13/12。

二つの分数のための近道

分母どうしの積を使うと、一行の公式になります：a/b + c/d = (a × d + c × b)/(b × d)。3/5 − 1/4なら：（3 × 4 − 1 × 5）/(5 × 4) = (12 − 5)/20 = 7/20。この公式でいつでも正しい答えが出ますが、分母に公約数があるときは答えを約分する必要があります。1/4 + 1/6を公式で計算すると10/24で、約分すると5/12になり、最小公分母で直接出した答えと同じです。

見積もりで確かめる

ざっと見積もるだけで、たいていの間違いが見つかります。1/2 + 1/3は1/2より大きく1より小さいはずで、5/6はそのとおりです。分子どうし、分母どうしをたして2/5とするのはつい出しがちな間違った答えですが、これは1/2より小さく、二つのうち一方がもう1/2なのだからありえません。この間違った方法で出てくるのは単元2の中間数で、二つの分数の間の数であって、決して和ではありません。

例題。レシピでオートミールを1/2カップ、小麦粉を2/3カップ使います。粉類は全部でどれだけですか？ 2と3の最小公分母は6なので、3/6 + 4/6 = 7/6カップで、一カップより少し多い量です。