Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1/2 + 1/3 = 5/6. Ответ становится виден, только когда и половины, и трети разрезаны на шестые доли.

Разные кусочки нельзя считать вместе

В прошлом уроке кусочки были одного размера, поэтому сложить значило сосчитать. Теперь попробуй 1/2 + 1/3. Один кусочек является половиной, а другой третью. Нельзя сказать, что у тебя два чего-то, потому что кусочки разного размера. Прежде чем считать их вместе, их нужно разрезать на кусочки такого размера, который подходит обоим.

Подходят шестые доли. Половина равна 3 шестым, а треть 2 шестым, поэтому 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. Число 6 является общим знаменателем: числом, на которое делятся оба знаменателя. Когда обе дроби записаны в шестых, задача превращается в обычное сложение с одинаковыми знаменателями.

Как найти общий знаменатель

Общим знаменателем может быть любое общее кратное двух знаменателей. Произведение знаменателей подходит всегда: для 3/4 + 5/6 можно взять 4 × 6 = 24. Наименьший общий знаменатель (НОЗ), то есть наименьшее общее кратное, оставляет числа меньше. Чтобы его найти, выписывай кратные большего знаменателя, пока одно из них не разделится на меньший. Кратные 6: 6, 12, 18 и так далее, 12 первое, которое делится на 4, поэтому НОЗ для 4 и 6 равен 12.

Четыре шага

Первый: найди общий знаменатель. Второй: запиши каждую дробь в виде равной дроби с этим знаменателем, умножив числитель и знаменатель на одно и то же число. Третий: сложи или вычти числители. Четвёртый: сократи результат. Для 3/4 + 5/6 с НОЗ 12: 3/4 = 9/12 и 5/6 = 10/12, поэтому сумма равна 19/12. Ничто не делит одновременно 19 и 12, поэтому 19/12 является окончательным ответом, чуть больше 1 с половиной.

Вычитание идёт по тем же шагам. 7/8 − 1/6: кратные 8 равны 8, 16, 24, и 24 первое, которое делится на 6. 7/8 = 21/24 и 1/6 = 4/24, поэтому разность равна 17/24. Для трёх дробей найди один знаменатель для всех. Для 2/3 + 1/4 + 1/6 подходит 12: 8/12 + 3/12 + 2/12 = 13/12.

Короткий путь для двух дробей

Если взять произведение знаменателей, получится формула в одну строку: a/b + c/d = (a × d + c × b)/(b × d). Для 3/5 − 1/4: (3 × 4 − 1 × 5)/(5 × 4) = (12 − 5)/20 = 7/20. Формула всегда даёт верный ответ, но когда у знаменателей есть общий делитель, результат нужно сокращать. 1/4 + 1/6 по формуле даёт 10/24, что сокращается до 5/12, того же ответа, который сразу даёт НОЗ.

Проверка прикидкой

Грубая прикидка ловит большинство ошибок. 1/2 + 1/3 должна быть больше 1/2 и меньше 1, и 5/6 такая. Соблазнительный неверный ответ, сложить числители и знаменатели и получить 2/5, меньше 1/2, а это невозможно, когда одна из двух частей уже равна 1/2. Этот неверный способ даёт медианту из урока 2, число между двумя дробями, но никак не их сумму.

Пример. В рецепте 1/2 чашки овсяных хлопьев и 2/3 чашки муки. Сколько это сухой смеси? НОЗ для 2 и 3 равен 6: 3/6 + 4/6 = 7/6 чашки, чуть больше одной чашки.