Сокращение дробей

24/36 и 2/3 являются одним и тем же числом. Деление числителя и знаменателя на 12 превращает одну дробь в другую.

Что значит «несократимая дробь»

Дробь несократима, когда у её числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме 1. Дробь 2/3 несократима, потому что никакое целое число больше 1 не делит одновременно 2 и 3. Дробь 24/36 сократима, потому что 2, 3, 4, 6 и 12 делят оба числа. Сократить дробь значит записать её в виде равной несократимой дроби.

Сокращение меняет вид дроби, но никогда не меняет её величину. Каждое деление на общий делитель объединяет группы маленьких кусочков в более крупные, ровно обратно складыванию из прошлого урока. Сокращённый ответ легче читать, легче сравнивать с другими дробями и легче проверять, поэтому во многих заданиях его и просят.

Способ 1: делить на маленькие делители шаг за шагом

Найди маленькое число, которое делит обе части, раздели и повторяй, пока что-то делится. Для 24/36 оба числа чётные, поэтому делим на 2: 12/18. Оба всё ещё чётные: 6/9. Теперь оба делятся на 3: 2/3. У 2 и 3 общих делителей не осталось, поэтому 2/3 является несократимой дробью. Этот способ не требует плана, только терпения.

Находить делители помогают признаки делимости. Число делится на 2, если его последняя цифра чётная, на 5, если оно оканчивается на 0 или 5, и на 10, если оно оканчивается на 0. Оно делится на 3, если сумма его цифр делится на 3, и на 9, если сумма цифр делится на 9. Для 51/87: 5 + 1 = 6 и 8 + 7 = 15, оба делятся на 3, поэтому 51/87 = 17/29.

Способ 2: разделить один раз на наибольший общий делитель

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел является самым большим числом, которое делит оба. Деление на него сокращает дробь за один шаг. Чтобы его найти, выпиши делители каждого числа. Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Наибольшее число, которое есть в обоих списках, равно 12, и 24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3.

Для больших чисел быстрее разложение на простые множители. Запиши каждое число как произведение простых: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 и 126 = 2 × 3 × 3 × 7. Общие простые множители: одна 2, одна 3 и одна 7, поэтому НОД равен 2 × 3 × 7 = 42. Тогда 84/126 = 2/3. Можно и сразу вычеркнуть общие простые множители из числителя и знаменателя, результат будет тот же.

Третий способ найти НОД использует остатки и обходится без списков делителей. Раздели большее число на меньшее и запиши остаток: 126 ÷ 84 даёт остаток 42. Затем раздели 84 на 42, остаток 0. Когда остаток стал 0, последний делитель, 42, и есть НОД. Именно этот способ используют компьютеры, потому что он остаётся быстрым даже для очень больших чисел.

Особые случаи

Неправильные дроби сокращаются так же: 22/8 = 11/4, если разделить обе части на 2. Дробь с числителем 0, например 0/7, равна 0 при любом знаменателе. Когда числитель делит знаменатель нацело, получается единичная дробь: 7/35 = 1/5. Когда знаменатель делит числитель нацело, получается целое число: 35/7 = 5.

Частая ошибка: сокращать цифры вместо множителей. В 16/64 так и хочется зачеркнуть две шестёрки и написать 1/4. Ответ случайно верный, но способ неверный: попробуй его на 13/39, и получится 1/9, хотя на самом деле 1/3. Сокращать можно только целые множители, на которые делятся оба числа.

Пример. Сократи 45/75. Оба числа оканчиваются на 5, поэтому делим на 5: 9/15. Оба делятся на 3: 3/5. Проверка через НОД: общие делители 45 и 75 равны 1, 3, 5 и 15, значит, НОД равен 15, и 45 ÷ 15 = 3, 75 ÷ 15 = 5.