Semplificare le frazioni

24/36 e 2/3 sono lo stesso numero. Dividendo sopra e sotto per 12 si passa dall'una all'altra.

Che cosa significa ridurre ai minimi termini

Una frazione è ridotta ai minimi termini, o irriducibile, quando numeratore e denominatore non hanno divisori comuni diversi da 1. 2/3 è ridotta ai minimi termini, perché nessun numero intero maggiore di 1 divide sia 2 sia 3. 24/36 non lo è, perché 2, 3, 4, 6 e 12 dividono entrambi i numeri. Semplificare una frazione significa riscriverla come la frazione equivalente ridotta ai minimi termini.

Semplificare cambia l'aspetto della frazione, mai la sua grandezza. Ogni divisione per un divisore comune riunisce gruppi di pezzi piccoli in pezzi più grandi, esattamente il contrario delle pieghe dell'unità precedente. Una risposta semplificata è più facile da leggere, da confrontare con altre frazioni e da controllare, ed è per questo che molti esercizi la chiedono.

Metodo 1: dividi per divisori piccoli, un passo alla volta

Cerca un numero piccolo che divida entrambe le parti, dividi e ripeti finché non funziona più niente. Per 24/36 entrambi i numeri sono pari, quindi dividi per 2: 12/18. Sono ancora pari: 6/9. Ora entrambi sono divisibili per 3: 2/3. 2 e 3 non hanno più divisori comuni, quindi 2/3 è la frazione ridotta ai minimi termini. Questo metodo non richiede di pianificare, solo pazienza.

Alcuni criteri veloci aiutano a trovare i divisori. Un numero è divisibile per 2 se l'ultima cifra è pari, per 5 se finisce con 0 o 5, e per 10 se finisce con 0. È divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3, e per 9 se la somma delle cifre è divisibile per 9. Per 51/87: 5 + 1 = 6 e 8 + 7 = 15, entrambi divisibili per 3, quindi 51/87 = 17/29.

Metodo 2: dividi una volta sola per il massimo comune divisore

Il massimo comune divisore (MCD) di due numeri è il numero più grande che li divide entrambi. Dividendo per l'MCD la frazione si semplifica in un solo passo. Per trovarlo, elenca i divisori di ciascun numero. I divisori di 24 sono 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. I divisori di 36 sono 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Il più grande presente in entrambi gli elenchi è 12, e 24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3.

Per numeri più grandi, i fattori primi sono più veloci. Scrivi ogni numero come prodotto di numeri primi: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 e 126 = 2 × 3 × 3 × 7. I fattori primi comuni sono un 2, un 3 e un 7, quindi l'MCD è 2 × 3 × 7 = 42. Allora 84/126 = 2/3. Puoi anche semplificare direttamente i fattori primi comuni sopra e sotto, e ottieni lo stesso risultato.

Un terzo modo per trovare l'MCD usa i resti e non richiede elenchi di divisori. Dividi il numero più grande per il più piccolo e tieni il resto: 126 ÷ 84 dà resto 42. Poi dividi 84 per 42, che dà resto 0. Quando il resto arriva a 0, l'ultimo divisore, 42, è l'MCD. È il metodo che usano i computer, perché resta veloce anche con numeri molto grandi.

Casi speciali

Le frazioni improprie si semplificano allo stesso modo: 22/8 = 11/4, dividendo entrambe le parti per 2. Una frazione con numeratore 0, come 0/7, vale 0 qualunque sia il denominatore. Quando il numeratore divide esattamente il denominatore, il risultato è una frazione unitaria: 7/35 = 1/5. Quando il denominatore divide esattamente il numeratore, il risultato è un numero intero: 35/7 = 5.

Un errore comune è cancellare cifre invece di fattori. In 16/64 viene la tentazione di cancellare i due sei e scrivere 1/4. Il risultato per caso è giusto, ma il metodo è sbagliato: provalo su 13/39 e ottieni 1/9, mentre il valore vero è 1/3. Si possono semplificare solo fattori interi che dividono entrambi i numeri.

Esempio. Semplifica 45/75. Entrambi finiscono con 5, quindi dividi per 5: 9/15. Entrambi sono divisibili per 3: 3/5. Controlla con l'MCD: i divisori comuni di 45 e 75 sono 1, 3, 5 e 15, quindi l'MCD è 15, e 45 ÷ 15 = 3, 75 ÷ 15 = 5.