약분과 기약분수

24/36과 2/3은 같은 수입니다. 위아래를 12로 나누면 하나가 다른 하나로 바뀝니다.

기약분수란

분자와 분모의 공약수가 1뿐인 분수를 기약분수라고 합니다. 2/3은 2와 3을 함께 나누는 1보다 큰 자연수가 없으니 기약분수입니다. 24/36은 2, 3, 4, 6, 12가 모두 두 수를 나누므로 기약분수가 아닙니다. 분수를 약분한다는 것은 크기가 같은 분수 가운데 기약분수로 바꿔 쓰는 것입니다.

약분은 분수의 모양을 바꿀 뿐 크기는 바꾸지 않습니다. 공약수로 나눌 때마다 작은 조각 여러 개를 큰 조각 하나로 묶는 셈이며, 지난 단원에서 종이를 접던 것과 정반대입니다. 기약분수로 쓴 답은 읽기 쉽고, 다른 분수와 비교하기 쉽고, 검산하기도 쉬워서 많은 문제가 기약분수로 답하라고 합니다.

방법 1: 작은 공약수로 차례로 나누기

두 수를 함께 나누는 작은 수를 찾아 나누고, 더 이상 안 될 때까지 되풀이합니다. 24/36은 둘 다 짝수이니 2로 나누면 12/18입니다. 여전히 둘 다 짝수라 6/9가 됩니다. 이제 둘 다 3으로 나누어떨어지니 2/3입니다. 2와 3에는 남은 공약수가 없으므로 2/3이 기약분수입니다. 이 방법은 미리 계획할 필요 없이 꾸준히 나누기만 하면 됩니다.

약수를 빨리 찾는 요령이 있습니다. 끝자리가 짝수면 2로, 0이나 5면 5로, 0이면 10으로 나누어떨어집니다. 각 자리 숫자의 합이 3의 배수면 3으로, 9의 배수면 9로 나누어떨어집니다. 51/87은 5 + 1 = 6, 8 + 7 = 15로 둘 다 3의 배수이므로 51/87 = 17/29입니다.

방법 2: 최대공약수로 한 번에 나누기

두 수의 최대공약수는 두 수를 함께 나누는 가장 큰 수입니다. 최대공약수로 나누면 한 번에 기약분수가 됩니다. 각 수의 약수를 적어 보세요. 24의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 36의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36입니다. 두 목록에 모두 있는 가장 큰 수가 12이고, 24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3입니다.

수가 크면 소인수분해가 더 빠릅니다. 84 = 2 × 2 × 3 × 7, 126 = 2 × 3 × 3 × 7로 씁니다. 공통인 소인수는 2 하나, 3 하나, 7 하나이므로 최대공약수는 2 × 3 × 7 = 42이고, 84/126 = 2/3입니다. 위아래에서 공통 소인수를 바로 지워도 같은 결과가 나옵니다.

약수 목록 없이 나머지만으로 최대공약수를 구하는 방법도 있습니다. 큰 수를 작은 수로 나눠 나머지를 봅니다. 126 ÷ 84의 나머지는 42입니다. 이번에는 84를 42로 나누면 나머지가 0입니다. 나머지가 0이 되었을 때 마지막으로 나눈 수 42가 최대공약수입니다. 수가 아주 커도 금방 끝나서 컴퓨터가 쓰는 방법이 이것입니다.

특별한 경우

가분수도 같은 방법으로 약분합니다. 22/8은 위아래를 2로 나눠 11/4입니다. 0/7처럼 분자가 0이면 분모와 상관없이 0입니다. 분자가 분모를 나누어떨어지게 하면 단위분수가 됩니다. 7/35 = 1/5. 분모가 분자를 나누어떨어지게 하면 자연수가 됩니다. 35/7 = 5.

자주 하는 실수는 약수가 아니라 숫자를 지우는 것입니다. 16/64에서 6을 양쪽에서 지우고 1/4이라고 쓰고 싶어집니다. 이번에는 우연히 맞지만 방법은 틀렸습니다. 13/39에서 3을 지우면 1/9가 나오지만 실제 값은 1/3입니다. 지울 수 있는 것은 두 수를 함께 나누는 약수뿐입니다.

예시. 45/75를 약분하세요. 둘 다 끝자리가 5이니 5로 나누면 9/15, 둘 다 3으로 나누면 3/5입니다. 최대공약수로 확인하면 45와 75의 공약수는 1, 3, 5, 15이므로 최대공약수는 15이고, 45 ÷ 15 = 3, 75 ÷ 15 = 5입니다.