분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈

1/2 + 1/3 = 5/6. 반쪽과 3분의 1 조각을 모두 6분의 1 조각으로 잘라 봐야 답이 보입니다.

크기가 다른 조각은 함께 셀 수 없습니다

지난 단원에서는 조각 크기가 같아서 더하기가 그대로 세기였습니다. 이번에는 1/2 + 1/3을 해 봅시다. 하나는 반쪽이고 하나는 3분의 1 조각입니다. 두 조각의 크기가 달라서 「무엇이 2개」라고 말할 수 없습니다. 함께 세려면 먼저 두 조각을 모두 나눌 수 있는 크기로 다시 잘라야 합니다.

6분의 1 조각이면 됩니다. 반쪽은 6분의 1 조각 3개, 3분의 1 조각은 2개이므로 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6입니다. 6처럼 두 분모로 모두 나누어떨어지는 수를 공통분모라고 합니다. 두 분수를 6분의 1 단위로 바꿔 쓰고 나면 분모가 같은 평범한 덧셈이 됩니다.

공통분모 찾기

두 분모의 공배수라면 무엇이든 공통분모가 될 수 있습니다. 두 분모의 곱은 언제나 됩니다. 3/4 + 5/6이라면 4 × 6 = 24를 쓸 수 있습니다. 가장 작은 공배수인 최소공통분모를 쓰면 수가 더 작아집니다. 큰 분모의 배수를 차례로 적다가 작은 분모로 나누어떨어지는 첫 수를 찾으면 됩니다. 6의 배수는 6, 12, 18, ...이고 4로 나누어떨어지는 첫 수가 12이므로 4와 6의 최소공통분모는 12입니다.

네 단계

첫째, 공통분모를 찾습니다. 둘째, 위아래에 같은 수를 곱해 각 분수를 그 분모의 분수로 바꿔 씁니다. 셋째, 분자끼리 더하거나 뺍니다. 넷째, 결과를 약분합니다. 3/4 + 5/6을 최소공통분모 12로 계산하면 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12이므로 합은 19/12입니다. 19와 12의 공약수는 1뿐이니 19/12가 답이고, 1과 2분의 1보다 조금 큽니다.

뺄셈도 단계가 같습니다. 7/8 − 1/6에서 8의 배수는 8, 16, 24이고 6으로 나누어떨어지는 첫 수가 24입니다. 7/8 = 21/24, 1/6 = 4/24이므로 차는 17/24입니다. 분수가 셋이면 모두에게 맞는 분모 하나를 찾습니다. 2/3 + 1/4 + 1/6은 12를 써서 8/12 + 3/12 + 2/12 = 13/12입니다.

두 분수의 지름길

두 분모의 곱을 공통분모로 쓰면 한 줄짜리 공식이 됩니다. a/b + c/d = (a × d + c × b)/(b × d). 3/5 − 1/4은 (3 × 4 − 1 × 5)/(5 × 4) = (12 − 5)/20 = 7/20입니다. 이 공식은 언제나 맞는 답을 주지만, 두 분모에 공약수가 있으면 약분이 필요합니다. 1/4 + 1/6을 공식으로 하면 10/24이고, 약분하면 최소공통분모로 바로 구한 5/12와 같습니다.

어림으로 확인하기

대충 어림해 보면 실수 대부분을 잡을 수 있습니다. 1/2 + 1/3은 1/2보다 크고 1보다 작아야 하며, 5/6은 그렇습니다. 분자끼리, 분모끼리 더한 2/5는 1/2보다 작아서, 더하는 수 하나가 이미 1/2인데 그럴 수는 없습니다. 이 틀린 방법으로 나오는 것은 2단원의 중간수, 두 분수 사이의 수이지 합이 아닙니다.

예시. 요리법에 귀리 1/2컵과 밀가루 2/3컵이 들어갑니다. 마른 재료는 모두 얼마일까요? 2와 3의 최소공통분모는 6이므로 3/6 + 4/6 = 7/6컵, 한 컵보다 조금 많습니다.