Optellen en aftrekken met ongelijke noemers

1/2 + 1/3 = 5/6. Het antwoord zie je pas als zowel de helften als de derden in zesden zijn verdeeld.

Verschillende stukken kun je niet samen tellen

In het vorige hoofdstuk waren de stukken even groot, dus optellen was tellen. Probeer nu 1/2 + 1/3. Het ene stuk is een half en het andere een derde. Je kunt niet zeggen dat je twee van iets hebt, want de twee stukken zijn verschillend van grootte. Voordat je de stukken samen kunt tellen, moeten ze in een grootte worden gesneden die bij allebei past.

Zesden werken. Een half is 3 zesde en een derde is 2 zesde, dus 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. Het getal 6 is een gemeenschappelijke noemer: een getal dat deelbaar is door beide noemers. Staan beide breuken eenmaal in zesden, dan is het een gewone som met gelijke noemers.

Een gemeenschappelijke noemer vinden

Elk gemeenschappelijk veelvoud van de twee noemers kan de gemeenschappelijke noemer zijn. Het product van de noemers werkt altijd: voor 3/4 + 5/6 kun je 4 × 6 = 24 nemen. De kleinste gemeenschappelijke noemer, het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (kgv), houdt de getallen kleiner. Om die te vinden schrijf je veelvouden van de grootste noemer op tot er één deelbaar is door de kleinste. Veelvouden van 6 zijn 6, 12, 18 enzovoort; 12 is de eerste die deelbaar is door 4, dus de kleinste gemeenschappelijke noemer van 4 en 6 is 12.

De vier stappen

Eén: zoek een gemeenschappelijke noemer. Twee: herschrijf elke breuk als gelijkwaardige breuk met die noemer, door boven en onder met hetzelfde getal te vermenigvuldigen. Drie: tel de tellers op of trek ze af. Vier: vereenvoudig het resultaat. Voor 3/4 + 5/6 met kleinste gemeenschappelijke noemer 12: 3/4 = 9/12 en 5/6 = 10/12, dus de som is 19/12. 19 en 12 hebben geen gemeenschappelijke deler, dus 19/12 is het eindantwoord, iets meer dan 1 en een half.

Aftrekken gaat met dezelfde stappen. 7/8 − 1/6: veelvouden van 8 zijn 8, 16, 24, en 24 is de eerste die deelbaar is door 6. 7/8 = 21/24 en 1/6 = 4/24, dus het verschil is 17/24. Bij drie breuken zoek je één noemer voor allemaal. 2/3 + 1/4 + 1/6 gebruikt 12: 8/12 + 3/12 + 2/12 = 13/12.

Een snelle route voor twee breuken

Met het product van de noemers krijg je een formule van één regel: a/b + c/d = (a × d + c × b)/(b × d). Voor 3/5 − 1/4: (3 × 4 − 1 × 5)/(5 × 4) = (12 − 5)/20 = 7/20. De formule geeft altijd een goed antwoord, maar als de noemers een deler delen, moet je het resultaat vereenvoudigen. 1/4 + 1/6 met de formule is 10/24, en dat vereenvoudig je tot 5/12, hetzelfde antwoord dat de kleinste gemeenschappelijke noemer direct geeft.

Controleer met een schatting

Een ruwe schatting vangt de meeste fouten. 1/2 + 1/3 moet meer zijn dan 1/2 en minder dan 1, en 5/6 is dat. Het verleidelijke foute antwoord, tellers en noemers optellen tot 2/5, is kleiner dan 1/2. Dat kan niet als een van de twee delen al 1/2 is. Die foute methode geeft de mediant uit hoofdstuk 2, een getal tussen de twee breuken in, nooit hun som.

Voorbeeld. Een recept gebruikt 1/2 kopje havermout en 2/3 kopje bloem. Hoeveel droog mengsel is dat? De kleinste gemeenschappelijke noemer van 2 en 3 is 6: 3/6 + 4/6 = 7/6 kopje, iets meer dan één kopje.