Optellen en aftrekken met gelijke noemers

2/7 + 3/7 = 5/7. Zevenden plus zevenden blijven zevenden, dus alleen de tellers veranderen.

Stukken van dezelfde grootte tellen

Drie appels en twee appels zijn samen vijf appels. Niemand telt het woord appels bij zichzelf op en krijgt appel-appels. Breuken met dezelfde noemer werken net zo. De noemer noemt de grootte van het stuk, zoals het woord appels, en de teller telt de stukken. Dus 2/7 + 3/7 betekent twee zevende plus drie zevende, en dat is vijf zevende: 5/7.

De regel: zijn de noemers gelijk, tel dan de tellers op of trek ze af en houd de noemer. In symbolen: a/n + b/n = (a + b)/n en a/n − b/n = (a − b)/n. Dat is de hele methode. De rest van dit hoofdstuk gaat over haar zorgvuldig gebruiken en het resultaat netjes maken.

Waarom je de noemers niet mag optellen

De bekendste fout is ook de noemers optellen: 2/7 + 3/7 = 5/14. Een snelle controle laat het probleem zien. 5/14 is kleiner dan 1/2, terwijl 3/7 alleen al bijna 1/2 is, en als je er 2/7 bij optelt, moet het groter worden. Noemers optellen zou betekenen dat de stukken kleiner worden als je ze samenvoegt. Breuken optellen verandert nooit de grootte van een stuk, alleen hoeveel stukken je hebt.

Vereenvoudig het antwoord

De som van twee breuken in de eenvoudigste vorm staat niet altijd zelf in de eenvoudigste vorm. 1/8 + 3/8 = 4/8, en 4/8 vereenvoudig je tot 1/2. 7/10 − 3/10 = 4/10 = 2/5. 5/12 + 1/12 = 6/12 = 1/2. Kijk altijd naar het resultaat en deel elke gemeenschappelijke deler weg, zoals in hoofdstuk 4.

Antwoorden groter dan 1

Zijn de tellers samen meer dan de noemer, dan is het antwoord meer dan één geheel. 5/6 + 5/6 = 10/6. Vereenvoudig met 2 en je krijgt 5/3, dat is 1 geheel en nog 2/3. Hoofdstuk 8 laat zien hoe je wisselt tussen 5/3 en het gemengde getal 1 2/3. Beide vormen zijn een goed antwoord; met onechte breuken reken je meestal makkelijker verder.

Aftrekken van 1

Om een breuk van 1 af te trekken, schrijf je 1 als breuk met dezelfde noemer. 1 − 3/10 = 10/10 − 3/10 = 7/10. Is 3/10 van een tank brandstof verbruikt, dan is er nog 7/10 over. Dezelfde truc werkt voor elk heel getal: 2 − 3/4 = 8/4 − 3/4 = 5/4.

Lopen over de getallenlijn

De getallenlijn uit hoofdstuk 2 geeft nog een beeld van dezelfde regel. Een breuk met dezelfde noemer optellen is naar rechts lopen in stappen van die grootte. Bij 3/8 + 4/8 begin je bij 3/8 en zet je nog 4 stappen van een achtste: je komt uit op 7/8. Aftrekken is naar links lopen. Het beeld laat ook zien waarom een som voorbij 1 kan gaan. Begin bij 5/6 en zet nog vijf stappen van een zesde: de eerste brengt je bij 6/6, dat is 1, en de andere vier brengen je verder tot 10/6.

Aftrekken kun je altijd controleren door terug op te tellen. Als 9/10 − 4/10 = 5/10, dan moet 5/10 + 4/10 weer 9/10 geven, en dat klopt. Zo'n controle kost een paar seconden en vangt de meeste vergissingen met tekens en tellers.

Meer dan twee breuken

De regel geldt voor elk aantal breuken met dezelfde noemer. 1/5 + 2/5 + 4/5 = 7/5. Gemengd optellen en aftrekken doe je van links naar rechts: 9/11 − 4/11 + 2/11 = 5/11 + 2/11 = 7/11.

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1. Je giet 3/4 kopje water in een kom, en dan nog eens 3/4 kopje. Hoeveel water zit er in de kom? 3/4 + 3/4 = 6/4 = 3/2 kopje, anderhalf kopje.

Voorbeeld 2. Een wandelroute is 9/10 km lang en je hebt 4/10 km gelopen. Hoe ver is het nog? 9/10 − 4/10 = 5/10 = 1/2 km.

Voorbeeld 3. Een film duurt 7/4 uur en je hebt 5/4 uur gekeken. 7/4 − 5/4 = 2/4 = 1/2 uur, dus er blijven 30 minuten over.