Breuken vereenvoudigen

24/36 en 2/3 zijn hetzelfde getal. Deel je boven en onder door 12, dan wordt het ene het andere.

Wat eenvoudigste vorm betekent

Een breuk staat in de eenvoudigste vorm als teller en noemer geen gemeenschappelijke deler hebben behalve 1. 2/3 staat in de eenvoudigste vorm, want geen heel getal groter dan 1 is een deler van zowel 2 als 3. 24/36 niet, want 2, 3, 4, 6 en 12 zijn allemaal delers van beide getallen. Een breuk vereenvoudigen betekent hem herschrijven als de gelijkwaardige breuk in de eenvoudigste vorm.

Vereenvoudigen verandert hoe de breuk eruitziet, nooit hoe groot hij is. Elke deling door een gemeenschappelijke deler voegt groepjes kleine stukken samen tot grotere stukken, precies het omgekeerde van het vouwen in het vorige hoofdstuk. Een vereenvoudigd antwoord is makkelijker te lezen, te vergelijken met andere breuken en te controleren. Daarom vragen veel opgaven erom.

Methode 1: stap voor stap delen door kleine delers

Zoek een klein getal waardoor beide delen deelbaar zijn, deel, en herhaal tot er niets meer lukt. Bij 24/36 zijn beide getallen even, dus deel door 2: 12/18. Nog steeds allebei even: 6/9. Nu zijn beide deelbaar door 3: 2/3. 2 en 3 hebben geen gemeenschappelijke deler meer, dus 2/3 is de eenvoudigste vorm. Voor deze methode hoef je niets te plannen, je hebt alleen geduld nodig.

Snelle tests helpen je delers te zien. Een getal is deelbaar door 2 als het laatste cijfer even is, door 5 als het eindigt op 0 of 5, en door 10 als het eindigt op 0. Het is deelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3, en door 9 als de cijfersom deelbaar is door 9. Bij 51/87: 5 + 1 = 6 en 8 + 7 = 15, allebei deelbaar door 3, dus 51/87 = 17/29.

Methode 2: één keer delen door de grootste gemeenschappelijke deler

De grootste gemeenschappelijke deler (ggd) van twee getallen is het grootste getal waardoor beide deelbaar zijn. Deel je erdoor, dan vereenvoudig je de breuk in één stap. Om hem te vinden schrijf je de delers van elk getal op. De delers van 24 zijn 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. De delers van 36 zijn 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. De grootste die in beide lijsten staat is 12, en 24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3.

Bij grotere getallen gaat het sneller met priemfactoren. Schrijf elk getal als product van priemgetallen: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 en 126 = 2 × 3 × 3 × 7. De gemeenschappelijke priemfactoren zijn één 2, één 3 en één 7, dus de ggd is 2 × 3 × 7 = 42. Dan is 84/126 = 2/3. Je kunt de gedeelde priemfactoren ook direct boven en onder wegstrepen. Dat geeft hetzelfde resultaat.

Een derde manier om de ggd te vinden gebruikt resten en heeft geen lijsten met delers nodig. Deel het grootste getal door het kleinste en onthoud de rest: 126 ÷ 84 geeft rest 42. Deel dan 84 door 42, dat geeft rest 0. Is de rest 0, dan is de laatste deler, 42, de ggd. Computers gebruiken deze methode, omdat hij ook bij heel grote getallen snel blijft.

Bijzondere gevallen

Onechte breuken vereenvoudig je op dezelfde manier: 22/8 = 11/4, door beide delen door 2 te delen. Een breuk met teller 0, zoals 0/7, is 0, wat de noemer ook is. Is de noemer deelbaar door de teller, dan krijg je een stambreuk: 7/35 = 1/5. Is de teller deelbaar door de noemer, dan krijg je een heel getal: 35/7 = 5.

Een bekende vergissing is cijfers wegstrepen in plaats van delers. Bij 16/64 is het verleidelijk om de twee zessen weg te strepen en 1/4 op te schrijven. Het antwoord klopt toevallig, maar de methode is fout: probeer het bij 13/39 en je krijgt 1/9, terwijl de echte waarde 1/3 is. Je mag alleen hele delers wegstrepen waardoor beide getallen deelbaar zijn.

Voorbeeld. Vereenvoudig 45/75. Beide eindigen op 5, dus deel door 5: 9/15. Beide zijn deelbaar door 3: 3/5. Controleer met de ggd: de gemeenschappelijke delers van 45 en 75 zijn 1, 3, 5 en 15, dus de ggd is 15, en 45 ÷ 15 = 3, 75 ÷ 15 = 5.