Gelijkwaardige breuken

1/2, 2/4, 3/6 en 50/100 zijn vier namen voor hetzelfde punt op de getallenlijn.

Zelfde hoeveelheid, andere verdeling

Pak een vel papier, vouw het dubbel en kleur één helft. Vouw het nu nog een keer dubbel, de andere kant op. Het gekleurde deel is niet veranderd, maar het papier is nu verdeeld in 4 gelijke delen en het gekleurde stuk beslaat er 2. Dezelfde hoeveelheid die 1/2 was, is nu 2/4. Vouw nog eens en het wordt 4/8. Breuken die dezelfde hoeveelheid aangeven heten gelijkwaardige breuken.

Bij elke vouw verdubbelde het aantal delen en verdubbelde ook het aantal gekleurde delen. Dat is de regel in één zin: vermenigvuldig de teller en de noemer met hetzelfde getal, en de waarde van de breuk verandert niet. 1/2 wordt 3/6 als je beide getallen met 3 vermenigvuldigt, en 50/100 als je beide met 50 vermenigvuldigt.

Waarom de regel klopt

Vermenigvuldig je de noemer met 3, dan snijd je elk stuk in 3 kleinere stukken. Je hebt nu 3 keer zoveel stukken, en elk stuk is een derde zo groot als eerst. Vermenigvuldig je de teller met 3, dan tel je 3 keer zoveel van die kleinere stukken. De twee effecten heffen elkaar precies op, dus de totale hoeveelheid blijft gelijk.

Je kunt het ook zeggen met het getal 1. Elke breuk met dezelfde teller en noemer, zoals 3/3 of 50/50, is gelijk aan 1. Een getal vermenigvuldigen met 1 verandert het nooit. Dus 1/2 × 3/3 = 3/6 is hetzelfde als 1/2 × 1, en dat is nog steeds 1/2. Een gelijkwaardige breuk vinden is vermenigvuldigen met een handig gekozen vorm van 1.

De regel werkt ook andersom. Deel je de teller en de noemer door hetzelfde getal, dan krijg je ook een gelijkwaardige breuk, zolang beide deelbaar zijn. 6/9 boven en onder gedeeld door 3 is 2/3. Deze richting heet vereenvoudigen, en daar gaat het volgende hoofdstuk over.

Wat niet werkt

Hetzelfde getal bij teller en noemer optellen geeft geen gelijkwaardige breuk. Tel je 1 op bij beide delen van 1/2, dan krijg je 2/3, en 2/3 is groter dan 1/2. Aftrekken werkt ook niet: 3/4 min 1 bij beide delen is 2/3, en dat is kleiner. Alleen vermenigvuldigen en delen houden de waarde gelijk, omdat alleen zij het aantal stukken en de grootte van elk stuk in evenwicht veranderen.

Een ontbrekend getal vinden

In veel opgaven moet je een gelijkwaardige breuk afmaken, zoals 3/5 = ?/20. Vraag je af waarmee het bekende deel is vermenigvuldigd. De noemer ging van 5 naar 20, dat is × 4, dus de teller moet ook met 4 worden vermenigvuldigd: 3 × 4 = 12, en 3/5 = 12/20. Bij 2/3 = 10/? ging de teller van 2 naar 10, dat is × 5, dus de noemer is 3 × 5 = 15.

Twee breuken testen met kruislings vermenigvuldigen

Wil je zonder tekening controleren of twee breuken gelijkwaardig zijn, vermenigvuldig dan elke teller met de noemer van de andere breuk. Voor 6/8 en 9/12: 6 × 12 = 72 en 9 × 8 = 72. De twee kruisproducten zijn gelijk, dus de breuken zijn gelijkwaardig. Voor 3/7 en 9/20: 3 × 20 = 60 en 9 × 7 = 63. Die verschillen, dus de breuken zijn niet gelijk. De test werkt omdat de kruisproducten de tellers zijn die je krijgt als je beide breuken herschrijft met de gemeenschappelijke noemer 8 × 12 of 7 × 20.

Waar je gelijkwaardige breuken gebruikt

Gelijkwaardige breuken maken de rest van deze cursus mogelijk. 2/3 vergelijken met 3/4, 1/2 optellen bij 1/3 en 3/4 omzetten in een procent beginnen allemaal met breuken herschrijven zodat ze dezelfde noemer hebben. 3/4 = 75/100 is de reden dat driekwart 75% is. Elk recept dat kopjes omrekent naar halve kopjes en elke liniaal met zestienden van een inch steunt op dezelfde regel.

Voorbeeld. Schrijf drie breuken op die gelijkwaardig zijn aan 2/5. Vermenigvuldig beide delen met 2, 3 en 10: 4/10, 6/15 en 20/50. Controleer er één met kruislings vermenigvuldigen: 2 × 15 = 30 en 6 × 5 = 30.